La théorie des systèmes linéaires est une branche fondamentale de l'algèbre qui étudie les ensembles d'équations linéaires et leurs solutions. Une équation linéaire est une relation mathématique où chaque terme est soit une constante, soit un produit d'une constante et d'une variable. Ces équations sont dites implicites car elles décrivent des relations entre les variables sans fournir directement leurs valeurs.
Définition et Structure des Systèmes Linéaires : Un système de $n$ équations linéaires à $p$ inconnues est une collection de $n$ équations linéaires, chacune impliquant les mêmes $p$ variables. Ces systèmes sont généralement représentés sous forme matricielle, où les coefficients des variables forment une matrice et les termes constants forment un vecteur. La structure d'un système linéaire est cruciale pour sa résolution : les coefficients sont disposés en lignes et colonnes, chaque ligne représentant une équation et chaque colonne correspondant à une variable. Cette organisation permet d'appliquer des techniques matricielles pour simplifier et résoudre le système.
Types de Systèmes et Solutions : Les systèmes linéaires peuvent être classés en plusieurs types en fonction de leurs solutions. Un système peut être compatible déterminé, ayant une solution unique, compatible indéterminé, ayant une infinité de solutions, ou incompatible, n'ayant aucune solution. Un cas particulier important est celui des systèmes homogènes, où tous les termes constants sont nuls. Ces systèmes sont toujours compatibles et admettent au moins la solution triviale où toutes les variables sont nulles. La résolution d'un système linéaire consiste à transformer le système initial en un système équivalent plus simple, facilitant ainsi la détermination de l'ensemble des solutions.