Prérequis d'Algèbre

Propriétés

Associativé : $a(bc) = (ab)c$
Commutativité : $a + b = b + a$ et $ab = ba$
Distributivité : $a(b + c) = ab + ac$

Exemples d'Opérations Arithmétiques

\begin{align*} ab + ac &= a(b + c) \\ a \left(\frac{b}{c}\right) &= \frac{ab}{c} \\ \frac{\left(\tfrac{a}{b}\right)}{c} &= \frac{a}{bc} \\ \end{align*}

Exemples d'Opérations Arithmétiques

\begin{align*} \frac{a + b}{c} &= \frac{a}{c}+\frac{b}{c} \\ \frac{ab + ac}{a} &= b + c, \quad a \neq 0 \\ \frac{\left(\tfrac{a}{b}\right) }{ \left(\tfrac{c}{d}\right)} &= \frac{ad}{bc} \end{align*}

Exemples d'Opérations Arithmétiques

\begin{align*} \frac{a}{\left(\tfrac{b}{c}\right)} &= \frac{ac}{b} \\ \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} &= \frac{ad \pm bc}{bd} \\ \frac{a - b}{c - d} &= \frac{b-a}{d-c} \\ \end{align*}

Complétion du Carré

Pour $ax^2 + bx + c = a(\ldots)^2 + \text{constante}$

Divisez par le coefficient $a$.
Déplacez la constante de l'autre côté.
Prenez la moitié du coefficient $b/a$, élevez-le au carré et ajoutez-le des deux côtés.
Factorisez le côté gauche de l'équation.
Utilisez la propriété de la racine carrée.
Résolvez pour $x$.

Équation Quadratique

Pour l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Propriétés des Radicaux d'indice $n$

Pour $a, b \geq 0$ si $n$ est pair $$ \begin{aligned} & \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \\ & \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a} \\ & \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \\ & \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \\ & \sqrt[n]{a^n} = a, \text{ si } n \text{ est impair} \\ & \sqrt[n]{a^n} = |a|, \text{ si } n \text{ est pair} \end{aligned} $$

Exemples de Factorisation

$$ \begin{aligned} & x^2 - a^2 = (x + a)(x - a) \\ & x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2 \\ & x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2 \\ & x^2 - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b) \\ & x^3 \pm 3ax^2 + 3a^2x \pm a^3 = (x \pm a)^3 \\ & x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2) \\ & x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2) \\ & x^{2n} - a^{2n} = (x^n - a^n)(x^n + a^n) \end{aligned} $$

Propriétés des Inégalités

Si $a < b$, alors $a + c < b + c$ et $a - c < b - c$.
Si $a < b$ et $c > 0$, alors $ac < bc$ et $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.
Si $a < b$ et $c < 0$, alors $ac > bc$ et $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.

Valeur Absolue

$$ |a| = \begin{cases} a, & \text{si } a \geq 0 \\ -a, & \text{si } a < 0 \end{cases} $$

$|a| = |-a|$
$|a| \geq 0$
$|ab| = |a||b|$
$\left|\frac{a}{b}\right| = \left|\frac{a}{b}\right|$
$|a + b| \leq |a| + |b|$

Propriétés des puissances

Pour tout nombre entier $n$ positif non nul, pour tout nombre relatif $a: a^{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{\text {n facteurs }}$ et, si a est non nul:$$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}=\frac{1}{\underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text { facteurs }}}$$

Par convention, $a^{0}=1$

Propriétés des puissances

On considère deux nombres entiers relatifs $n$ et $m$ et un nombre $a$.

$a^{n} \times a^{m}=a^{n+m}$
$a^{n} \times b^{n}=(a \times b)^{n}$
$\dfrac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m} \quad(a \neq 0)$
$\left(a^{m}\right)^{p}=a^{m \times p}$

Propriétés des Nombres Complexes

$$ \begin{aligned} & i = \sqrt{-1} \\ & i^2 = -1 \\ & \sqrt{-a} = i \sqrt{a}, \quad a \geq 0 \\ & (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i \\ & (a + bi) - (c + di) = a - c + (b - d)i \\ & (a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i \\ & (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \\ & |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \\ & \overline{(a + bi)} = a - bi \\ & \overline{(a + bi)}(a + bi) = |a + bi|^2 \\ & \frac{1}{(a + bi)} = \frac{(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} \end{aligned} $$