Table des matières

Exercices sur les suites et les séries géométriques

Exo 1

On considère la suite $\left( u_n \right)$ définie par $u_1=2$ et $u_{n+1}=2.u_n$ $\left( \forall n \in \mathbb{N}_0 \right) $

  1. Calculer les quatre premiers termes de la suite
  2. Déterminer les caractéristiques de la suite $\left( u_n \right)$
  3. Exprimer $\left( u_n \right)$ en fonction de $n$
  4. Calculer $\sum_{i=1}^{n} \; u_i$

Solution

Solution

  1. $u_1=2$, $u_2=4$, $u_3=8$, $u_4=16$
  2. cette suite est une suite géométrique de premier terme $u_1=2$ et de raison $q=2$
  3. $u_n=2 \cdot 2^{n-1}$ ou encore $u_n=2^n$
  4. $\sum_{i=1}^{n} \; u_i \; = \; u_1 \frac{1-q^n}{1-q} \implies \sum_{i=1}^{n} \; u_i = 2 \cdot \frac{1-2^n}{1-2} = 2 \cdot \left( 2^n-1 \right)$

Exo 2

Soit $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}_0}$ une suite géométrique de raison $q=1{,}2$ et de premier terme $v_1=3$. Ecrire la définition par récurrence de cette suite. Calculer $v_2$, $v_3$ et $v_4$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $v_{16}$ et $v_{100}$.

Solution

Solution

définition par récurrence : $(v_n) : \left\{ \begin{array}{l} v_1=3 \\ v_{n+1}=1,2 \times v_n \end{array}\right. $

$v_2=3,6$, $v_3=4,32$ et $v_4=5,184$

formule explicite : $v_n=3\cdot 1,2^{n-1}$ avec $n\in\mathbb{N}_0$

$v_{16} = 3\cdot 1,2^{15}$ et $v_{100}=3\cdot 1,2^{99}$

Exo 3

Soit $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}_0}$ une suite géométrique de raison $q=2$ et telle que $v_4=48$. Calculer $v_1$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $v_{6}$ et $v_{12}$.

Solution

Solution

$v_4=v_1\cdot q^3 \iff 48 = v_1 \cdot 8 \iff v_1=6$

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ $\longleftrightarrow$ formule explicite : $v_n=6\cdot 2^{n-1}$ avec $n \geq 1$

$v_6 = 6\cdot 2^5 = 192$ et $v_{12} = 6\cdot 2^{11} = 12288$

Exo 4

Soit $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}_0}$ une suite géométrique telle que $v_1=-10$ et $v_3=1{,}25$. Calculer la raison de cette suite. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $v_{1}$ et $v_{7}$.

Solution

Solution

$v_3=v_1\cdot q^2 \iff 1{,}25 = -10 \cdot q^2 \iff q^2 = -0{,}125$

Étant donné que \(q^2\) représente un carré parfait, il est intrinsèquement non négatif. Par conséquent, aucune solution pour $q$ n'est possible.

Exo 5

Soit $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}_0}$ une suite géométrique telle que $v_{20}=45$ et $v_{23}=5625$. Calculer la raison de cette suite. Calculer $v_1$. Ecrire la définition par récurrence de cette suite, puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$. Enfin calculer $v_{17}$ et $v_{27}$.

Solution

Solution

$v_{23} = v_{20} \cdot q^{23-20} \iff 5625 = 45 \cdot q^3 \iff q^3=125 \iff q=5$

$v_{20} = v_{1} \cdot q^{19} \iff 45 = v_{1} \cdot 5^{19}\iff v_{1} = \frac{5\cdot 9}{5^{19}}=\frac{9}{5^{18}} $

définition par récurrence : $(v_n) : \left\{ \begin{array}{l} v_1=\frac{9}{5^{18}} \\ v_{n+1}=5 \times v_n \end{array}\right. $

formule explicite : $v_n=\frac{9}{5^{18}}\cdot 5^{n-1}$ avec $n \geq 1$ ou mieux $v_n=9\cdot 5^{n-19}$

$v_{17} = 9\cdot 5^{17-19} = \frac{9}{25}$ et $v_{27} = 9\cdot 5^{27-19}=3\ 515\ 625$

Exo 6

Soit $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}_0}$ la suite géométrique de premier terme $v_1=2500$ et de raison $q=1{,}04$. Calculer $v_{1}$, $v_{2}$ et $v_{15}$ (arrondir au centième). Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit rang $n$ pour lequel $v_n\geqslant5000$.

Solution

Solution

formule explicite : $v_n=2500\cdot 1{,}04^{n-1}$ avec $n \geq 1$

$$\begin{aligned} v_n\geqslant5000 &\iff 2500\cdot 1{,}04^{n-1} \geqslant 5000 \\ &\iff 1{,}04^{n-1} \geqslant 2 \end{aligned}$$

Il est essentiel d'essayer plusieurs valeurs, et un tableau s'avère très pratique pour déterminer le rang à partir duquel la condition est vérifiée

\[ \begin{array}{c|cccc} n & 9 & 15 & 18 & 19 \\ \hline 1{,}04^{n-1} & \approx 1,369 & \approx 1,732 & \approx 1,948 & \approx 2,026 \end{array} \]

$n=19$ est le plus petit rang qui vérifie $v_n\geqslant5000$.

NOTE : Pour résoudre l'inégalité \(1,04^{n-1} \geqslant 2\) en utilisant les propriétés des logarithmes, nous pouvons suivre les étapes suivantes:

1. Appliquer le logarithme des deux côtés de l'inégalité. Pour simplicité, utilisons le logarithme naturel (logarithme népérien, noté \(\ln\)).

\[ \ln(1,04^{n-1}) \geqslant \ln(2) \]

2. Utiliser la propriété \(\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)\) des logarithmes :

\[ (n-1) \cdot \ln(1,04) \geqslant \ln(2) \]

3. Divisez chaque côté par \(\ln(1,04)\). Notez que puisque \(1,04 > 1\), son logarithme est positif, donc le sens de l'inégalité ne change pas.

\[ n-1 \geqslant \frac{\ln(2)}{\ln(1,04)} \]

4. Ajoutez 1 des deux côtés de l'inégalité pour isoler \(n\).

\[ n \geqslant \frac{\ln(2)}{\ln(1,04)} + 1 \]

Ainsi, en calculant la valeur de \(\frac{\ln(2)}{\ln(1,04)}+1\approx 18,67\). Nous ne pouvons pas avoir “les 0,67” d'un rang, il faut donc arrondir à l'entier supérieur le plus proche, c'est-à-dire 19. Donc, le rang minimum où la condition est vérifiée est 19.

Exo 7

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n \geq 0$ par $v_0 = 9$ et $v_{n+1} = -\frac{1}{3}v_n$

  1. Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
  2. Préciser, en les justifiant, la nature et les caractéristiques de cette suite.
  3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
  4. Calculer $S = v_0 + v_1 + \cdots + v_{117}$.

(Valeur exacte, puis valeur approchée à $10^{-3}$ près.)

Solution

Solution

  1. $v_1=-\frac{1}{3}v_0=-3$, $v_2=-\frac{1}{3}v_1=1$, $v_3=-\frac{1}{3}$, $v_4=\frac{1}{9}$
  2. la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=9$ et de raison $-\frac{1}{3}$ car chaque terme est déterminé à partir du précédent multiplié par $-\frac{1}{3}$
  3. $v_n=v_0 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) ^n = 3^2 \cdot \frac{\left(-1\right)^n}{3^n}=\frac{\left(-1\right)^n}{3^{n-2}}$
  4. $S = \sum_{i=0}^{117} u_i$

\begin{eqnarray*} S&=&\text{premier terme} \times \frac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}\\ &=&u_0 \frac{1-q^{118}}{1-q}\\ &=&9 \cdot \frac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{118}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)} \\ &=& \frac{27}{4} \cdot \left(\frac{3^{118}-1}{3^{118}}\right)\\ %&=& \frac{3^{118}-1}{4 \cdot 3^{115}} \\ %k &=& \frac{\log \left( 384 \right) + 10}{\log 2} \\ & \approx & \frac{27}{4} = 6{,}75 \end{eqnarray*}

Exo 8

On considère une suite géométrique $(w_n)$ de premier terme $w_1=1$ et de raison $q=-2$.

  1. Calculer $w_2$, $w_3$ et $w_4$.
  2. Calculer $w_{20}$.
  3. Calculer la somme $S=w_1+w_2+\ldots+w_{20}$.

Solution

Solution

  1. $w_2=-2$, $w_3=4$ et $w_4=-8$
  2. $w_{20} = 1\cdot (-2)^{19} = \mathbf{-524\ 288}$
  3. $S=w_1+w_2+\ldots+w_{20} = w_1 \dfrac{1-q^{20}}{1-q} = \dfrac{1-(-2)^{20}}{1-(-2)}= \mathbf{-349525}$

Exo 9

Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_5 = -486$ et $v_6 = {1458}$.

  1. Déterminer la raison de la suite.
  2. Calculer $v_0$.
  3. Calculer $S_{10} = v_0 + v_1 + \ldots + v_{10}$.

Solution

Solution

  1. $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $-3$
  2. $v_0 = 2$
  3. $S_{10} = \mathbf{88574}$

Exo 10

de la Terre à la Lune

Une feuille de papier a un dixième de millimètre d'épaisseur. On note \(u_0=\frac{1}{10}\). On plie la feuille en deux et on note \(u_1\) l'épaisseur du pliage obtenu. on recommence plusieurs fois de suite cette opération, et on note \(u_n\) l'épaisseur obtenue après le \(n^{\text{ième}}\) pliage.

  1. Calculer les valeurs de \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\)
  2. Caractériser la suite \(\left( u_n \right)\) ainsi obtenue
  3. On plie la feuille 30 fois de suite. Quelle est l'épaisseur obtenue?
  4. Sachant que la distance Terre-Lune est d'environ 384 000 km, combien de fois faudra-t-il plier la feuille pour obtenir cette distance?

Solution

Solution

  1. \(u_1=\frac{2}{10}\), \(u_2=\frac{4}{10}\), \(u_3=\frac{8}{10}\)
  2. cette suite est une suite géométrique de premier terme \(u_0=\frac{1}{10}\) et de raison \(q=2\)
  3. le \(n^{\text{ième}}\) pliage correspond au terme \(u_n\); par conséquent, le \(30^{\text{ième}}\) pliage est donné par: \(u_{30}=u_0 \times q^{30}=\frac{1}{10} \times 2^{30}=\frac{2^{30}}{10}\approx 107\ 374\ 182,4\) mm ou environ \(107,4\) km
  4. remarque : la distance Terre-Lune est de \(384 \times 10^9\) mm. Il nous faut calculer le nombre \(k\) de pliages de telle sorte que \(u_k = 384 \times 10^9\). On a : \(u_k= 384 \times 10^9\iff \frac{1}{10} \times 2^{k}= 384 \times 10^9\iff 2^k=384 \times 10^{10}\) En procédant par essais successifs, on obtient pour \(k\) un nombre situé entre 41 et 42. Pour obtenir cette distance, on choisira \(k=42\).
    Note : $k=\frac{\log \left(384 \times 10^{10}\right)}{\log 2} \approx 41,8$

Exo 11

les intérêts composés

On place 10000 euros sur un compte bancaire rémunéré au taux de 5% par an. On note \(u_0=10000\) et \(u_n\) la somme disponible à la fin de la \(n^{\text{ième}}\) année.

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\)
  2. Déterminer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_{n}\)
  3. Caractériser la suite \(\left( u_n \right)\)
  4. Quelle est la somme disponible au bout de 10 ans?
  5. Au bout de combien d'années aura-t-on 20 000 euros ou plus sur ce compte?

Solution

Solution

  1. \(u_1 = u_0 + \frac{5}{100}u_0 = 10500\),
    \(u_2 = u_1 \left(1 + \frac{5}{100}\right) = 11025\),
    \(u_3 = u_2 \cdot 1,05 = 11576,25\),
    \(u_4 = u_3 \cdot 1,05 = 12155,0625\)
  2. \(u_{n+1} = 1,05 \cdot u_n\)
  3. La suite \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 10000\) et de raison \(q = 1,05\)
  4. La somme disponible au bout de 10 ans est \(u_{10} = u_0 \cdot 1,05^{10} = 16288,94627\)
  5. Il faut rechercher \(k\), le nombre d'années au bout desquelles on obtiendra au moins 20000 euros. Cela revient à résoudre \(u_k = 20000\).

\begin{align*} 10000 \cdot (1,05)^k &= 20000\\ (1,05)^k &= 2\\ \textrm{pour } k = 14 : (1,05)^{14} &\approx 1,98\\ \textrm{pour } k = 15 : (1,05)^{15} &\approx 2,079 \end{align*} On obtiendra donc plus de 20000 euros au bout de 15 ans

Exo 12

la longueur de la spirale

Sur la figure ci-après, chacun des demi-cercles a pour diamètre un rayon du demi-cercle précédent.

Le but de l'exercice est de calculer la longueur de cette spirale lorsqu'elle est composée de 6 demi-cercles, le rayon du plus grand mesurant 8 cm.

On note $r_n$ le rayon du n-ième demi-cercle de la spirale ci-dessous.

  1. Déterminer $r_{n+1}$ en fonction de $r_{n}$
  2. Montrer que $\left( r_n \right) $ est une suite géométrique dont on précisera la raison
  3. Exprimer $r_n$ en fonction de $\mathbf{n}$
  4. Répondre au problème posé en introduction.

Solution

Solution

  1. $r_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot r_n$
  2. évident, $\left(r_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac12$ et de premier terme $r_1=8$
  3. $r_n=r_1 \cdot q^{n-1}=2^{4-n}$
  4. la longueur d'un demi-cercle de rayon $r$ vaut $\pi.r$.
    dès lors la longueur de la spirale est:
    \[L=\sum\limits_{i=k}^{6} \pi.r_k = \pi \sum_{i=k}^{6} r_k = \pi \cdot 8 \frac{1-(1/2)^6}{1-1/2} = \frac{63}{4} \pi\]

Exo 13

Un client d'une banque effectue un placement avec un taux de $3\%$ par an avec intérêts composés. On note $c_n$ le capital la nème année.

  1. Quelle est la relation liant $c_n$ et $c_{n+1}$ En déduire la nature de la suite $(c_n)$.
  2. En admettant que le capital au bout de 5 ans est de 1680 €, déterminer la valeur du placement initial (arrondir à l'unité).
  3. Quel sera le capital du client au bout de 20 ans ?

Solution

Solution

Soit $c_n$ le capital d'un client la $(n+1)$\ieme~année placé avec un taux de 3 \% par an avec intérêts composés.

  1. Nature de la suite $(c_n)$
    Chaque année, les intérêts sont calculés sur la capital de l'année précédentes. Donc le capital $c_{n+1}$ la $(n+2)$\ieme~année de déduit du capital de l'année précédente par une augmentation de $3 \%$ : \begin{equation*} c_{n+1} = \left(1+\frac{3}{100}\right)\cdot c_n = \left(\frac{103}{100}\right)\cdot c_n \end{equation*} Donc pour tout $n \in \mathbb{N}$ : ${c_{n+1} = {1,03}\cdot c_n}$
    D'où $(c_n)$ est une suite géométrique de raison ${1,03}$.}
  2. Valeur $c_0$ du placement initial
    Comme $(c_n)$ est géométrique de raison $q = {1,03}$, son terme général $c_n$ est donné par la relation : \begin{equation*} c_n = c_0\cdot q^n = c_0\cdot ({1,03})^n \end{equation*}
    Comme le capital $c_5$ au bout de 5 ans est de 1680 €, il vient pour $n = 5$ :
    \[ c_5 = c_0\cdot (1,03)^5 \iff 1680 = c_0\cdot (1,03)^5 \]
    Donc : $c_0 = 1449$
  3. Capital au bout de 20 ans
    Puisque $c_n = c_0\cdot q^n = 1449\cdot (1,03)^n$, il vient en posant $n = 20$ : \begin{equation*} c_{20} = 1449\cdot (1,03)^{20} \approx 2617 \end{equation*} Donc le capital au bout de 20 ans est d'environ 2617 €.

Remarque : La valeur de $c_0$ étant une valeur approchée, il aurait été plus judicieux de calculer $c_{20}$ à partir de la valeur exacte $c_5$ avec la formule : $c_n = c_k\cdot q^{n-k}$.

Exo 14

Au niveau de la mer, la pression atmosphérique est de 1013 hPa (hectopascal). On admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25% à chaque élévation de 100 mètres.

On note pour les besoins de l'exercice $P_n$ la pression en hectopascal à $100n$ mètres d'altitude, et on considère la suite numérique $(P_n)$.

  1. Déterminer les pressions $P_0$, $P_1$, et $P_2$ aux altitudes repectivement 0 m, 100 m, et 200 m (arrondir à l'unité).
  2. Exprimer la pression $P_{n+1}$ à l'altitude $100n+100$ mètres en fonction de la pression $P_n$ à l'altitude $100n$ mètres (justifier). En déduire la nature de la suite et sa raison.
  3. Donner le terme général de la suite $(P_n)$.
  4. Calculer la pression atmosphérique à 3200 mètres d'altitude (arrondir à l'unité).
  5. En utilisant la calculatrice, déterminer à partir de quelle altitude, à 100 mètres près, la pression atmosphérique devient inférieure à 600 hectopascal. Justifier par un encadrement.

Solution

Solution

  1. $P_{0} = 1013$, $P_{1} = 1013-\frac{1,25}{100}\cdot 1013 = 1000$, $P_{2} = 1000-\frac{1,25}{100}\cdot 1000 = 988$
  2. $P_{n+1} = P_n - \frac{1,25}{100}\cdot P_n = \left(1-\frac{1,25}{100}\right)\cdot P_n = 0,9875 \cdot P_n$
    $(P_n)$ est une suite géométrique de premier terme $P_{0} = 1013$ et de raison $q=0,9875$.
  3. $P_{n} = P_0 \cdot q^{n} = 1013\cdot 0,9875^{n}$
  4. $P_{32} = 1013\cdot 0,9875^{32} = 677$
  5. $P_n<600 \iff 1013\cdot 0,9875^{n}<600 \iff 0,9875^{n}<0,5923$
$n$ 38 39 40 41 42 43
$0,9875^{n}$ 0,6200 0,6123 0,6046 0,5971 0,5896 0,5822

La pression atmosphérique devient inférieur à partir de 4200 mètres.

Exo 15

On construit une figure étape par étape comme suit :

A chaque étape, on ajoute un disque dont le rayon est la moitié de celui qui a été ajouté à l'étape précédente.

Sachant que le premier disque a un rayon égal à 5 cm, quelle sera la valeur approchée à l'unité de l'aire totale des disques à l'étape 10 ?

Solution

Solution

Appelons $r_n$ le rayon du disque ajouté à l'étape $n$ et $a_n$ l'aire du disque de rayon $r_n$.

Alors, $r_{n+1}=\dfrac{1}{2}r_n$. Donc $(r_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.

L'aire du disque ajouté à l'étape $n$ est $$a_n=\pi \times (r_n)^2=\pi \left(\dfrac{5}{2^{n-1}}\right)^2 = 100\pi \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$$ La suite $(a_n)$ est géométrique de raison 1/4. Une autre manière de le prouver est de calculer le quotient suivant :

$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\pi\times \left({r_{n+1}}\right)^2}{\pi \times \left({r_n}\right)^2}=\left({\dfrac{r_{n+1}}{r_n}}\right)^2=q^2=\frac{1}{4}$$ donc $(a_n)$ est aussi une suite géométrique de raison $q$.

L'aire totale des disques (en cm$^2$) à l'étape 10 est donc : \begin{align*} a_1+a_2+\cdots+a_{10} & = \text{premier terme}\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\ & = 25\pi\times\dfrac{1-\frac{1}{4^{10}}}{1-\frac{1}{4}}\\& = \frac{100}{3}\pi\times\left(1-\dfrac{1}{4^{10}}\right)\\ & = \frac{100}{3} \pi\left(1-\dfrac{1}{1048576}\right)\\ & = \frac{100}{3} \pi\times\dfrac{1048575}{1048576}\\ %& = \frac{2^2\cdot 5^2}{3} \pi\times\dfrac{3\cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 31 \cdot 41}{2^{20}}\\ %& = \dfrac{25575\pi}{512}\\ & \approx 104,72. \end{align*}

L'aire totale est donc environ égale à 104,72 cm$^2$.

Exo 16

Une chaufferie produit de la vapeur à \(100^{\circ}\). La température de la vapeur diminue de \(1\%\) par mètre de tuyauterie parcourue. Calculer la longueur maximale de tuyaux que la vapeur peut parcourir pour que sa température ne perde pas plus de \(40^{\circ}\).

Solution

Solution

Soit \(t_0 = 100 ^{\circ}\) et \(t_n\) la température de la vapeur après avoir parcouru \(n\) mètres de tuyau.

Par exemple : \[ \begin{aligned} t_1 &= t_0-\frac{1}{100}\cdot t_0 = 100-\frac{1}{100}\cdot 100 = 99^{\circ} \\ t_2 &= t_1-\frac{1}{100}\cdot t_1 = \left(1-\frac{1}{100}\right)\cdot t_1 = 0,99\cdot t_1 = 98,01^{\circ} \\ t_3 &= 0,99\cdot t_2=97,0299^{\circ} \end{aligned} \]

On reconnait aisément la définition d'une suite géométrique de premier terme \(t_0 = 100\) et de raison \(q=0,99\). D'où : \(t_n = t_0 \cdot q^n = 100\cdot 0,99^n\)

Demander que la température de la vapeur ne perde pas plus de \(40^{\circ}\) correspond à dire que sa température doit rester toujours au-dessus de \(60^{\circ}\). Cela induit automatiquement le critère suivant : \[t_n>60^{\circ} \iff 100\cdot 0,99^n>60 \iff 0,99^n>0,6 \]

On peut procéder par tâtonnement pour retrouver \(n\), mais cela va vite s'avérer fastidieux.

La fonction LOG présente sur toute machine à calculer classique va nous permettre d'isoler l'inconnue \(n\) dans l'équation \(0,99^n = 60\) (on verra comment gérer la réponse finale à donner par rapport à l'inéquation après avoir résolu l'équation).

Cette fonction LOG possède une propriété bien pratique : elle transforme une puissance en un produit. En effet, \(\log\left(x^{p}\right)=p\log \left(x\right)\) pour tout réel strictement positif \(x\) et pour tout entier \(p\). Par exemple, \(\log\left(2^{3}\right)=3\log \left(2\right)\) ou encore \(\log\left(10^{6}\right) = 6\log \left(10\right) = 6\).

Dès lors, \[ \begin{aligned} 0,99^n=0,6 &\iff \log\left(0,99^n\right)=\log\left(0,6\right)\\ &\iff n\cdot\log\left(0,99\right)=\log\left(0,6\right)\\ &\iff n = \frac{\log\left(0,6\right)}{\log\left(0,99\right)}\\ &\iff n = 50,82672173 \end{aligned} \]

Il suffit de comparer \(0,99^{50} \approx 0,605006067 > 0,6\) et \(0,99^{51} \approx 0,598956006 < 0,6\) pour terminer l'exercice :

50 mètres est la longueur maximale de tuyaux que la vapeur peut parcourir pour que sa température ne perde pas plus de \(40^{\circ}\).

Exo 17

Une chaufferie produit de la vapeur à $98^\circ$. Par mètre de tuyau parcouru, la température diminue de $2\%$.

1) Quelle sera la température après avoir parcouru 30 mètres de tuyauterie ? Réponse attendue au dixième de degré près.

Solution

Solution

Soit $T_0=98^\circ$ la température initiale (température produite par la chaufferie) et $T_n$ la température après avoir parcouru $n$ mètres de tuyauterie.

Après 1 mètre de tuyau, la température est $T_1 = T_0 \cdot (1-\frac{2}{100}) = 98\cdot 0,98 = 96,04$

Après 2 mètres de tuyau, la température est $T_2 = T_1 \cdot (1-\frac{2}{100}) = 96,04 \cdot 0,98 \approx 94,12$

et ainsi de suite.

$T_n$ est donc une suite géométrique de premier terme $T_0=98$ et de raison $q=0,98$

Il suffit de calculer $T_{30} = T_0\cdot q^{30}$ $$ T_{30} = 98\cdot 0,98^{30} \approx 53,5^\circ$$

2) Après quelle distance, la température aura-t-elle diminué de moitié ?

Solution

Solution

On sait que $T_{n} = 98\cdot 0,98^{n}$ et on doit respecter la condition $T_n=\frac12\cdot 98 = 49$

$$ 49 = 98\cdot 0,98^{n} \iff 0,5 = 0,98^n \iff n=\dfrac{\log 0,5}{\log 0,98}\approx 34,31$$

Comme la température doit diminuer de 49 degrés, au moins, la distance parcourue par la vapeur doit être de 35 mètres.

3) Si, à un endroit donné du tuyau, la vapeur est à $51^\circ$, quelle était sa température $10$ mètres avant ?

Solution

Solution

$T_{n-10} = T_n \cdot 0,98^{n-10-n} \implies T_{n-10} = 51\cdot 0,98^{-10} \approx 62,42^\circ$

Exo 18

Une entreprise décide de verser à ses ingénieurs une prime annuelle de 500 Euros. Pour ne pas se dévaluer, il est prévu que chaque année la prime augmente de $2\%$ par rapport à l'année précédente. On note $(u_n)$ la suite des primes avec $u_1 = 500$.

1) Calculer $u_2$ puis $u_3$ (c'est-à-dire la prime versée par l'entreprise la 2ème année et la 3ème année)

Solution

Solution

Chaque année, la prime est multipliée par $1,02$ : $q=1+\dfrac{2}{100}=1,02$

$u_2=500 \times 1,02=510$

$u3=510 \times 1,02=520,20$

2) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $(u_n)$.

Solution

Solution

$u_{n+1} = 1,02\times u_n$

$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,02$.

3) Un ingénieur compte rester 20 ans dans cette entreprise à partir du moment où est versée la prime. Calculer la prime qu'il touchera la 20ème année (c'est-à-dire $u_{20}$)

Solution

Solution

$u_{20}=u_1 \times 1,02^{19}\approx 728,41$

La prime qu'il touchera la 20ème année est de $728,41$ \euro

4) Calculer la somme totale S des primes touchées sur les 20 années (c'est-à-dire $S = u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_{20}$)

Solution

Solution

Il y a 20 termes dans cette somme : $$\begin{aligned} S= u_1 \times \dfrac{1-q^{20}}{1-q} &= 500 \times \dfrac{1-1,02^{20}}{1-1,02}\\ &=\dfrac{500}{0,02}\left( 1,02^{20}-1 \right)\\ &=25\,000 \left( 1,02^{20}-1 \right)\approx 12\,148,68 \end{aligned}$$

Il aura touché environ $12\,148,68$ \euro.

Exo 19

On considère les deux suites $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définies par : \[\begin{cases} u_0=4\\ u_{n}=2u_{n-1}-3 \end{cases} {\rm \ \ et \ \ } w_n=u_n-3.\]

a) Montrer que la suite $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=2$, puis calculer la valeur de $w_n$ en fonction de $n$.

b) En déduire la valeur de $u_n$ en fonction de $n$.

c) Calculer le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geq 100$.

Solution

Solution

a) Pour démontrer qu'une suite \( (w_n) \) est géométrique, il est nécessaire de vérifier si le rapport entre chaque terme \( w_{n+1} \) et son prédécesseur \( w_n \) reste constant, et ce, pour tous les termes de la suite. : \[\begin{aligned} \frac{w_{n+1}}{w_{n}} &= \frac{u_{n+1}-3}{u_n-3}\\ &= \frac{2u_{n}-3-3}{u_n-3}\\ &= \frac{2\left(u_{n}-3\right)}{u_n-3}\\ &= 2\\ \end{aligned}\] on vient donc de prouver que \( (w_n) \) est une suite géométrique de raison $q=2$

b) puisque \( w_n=u_n-3 \), on a $u_n = w_n+3 =2^n+3$

c) $2^n \geq 97 \iff \log \left(2^n\right) \geq \log \left(97\right) \iff n\geq \frac{\log 97}{\log 2}\iff n\geq 7$

Exo 20

On considère une suite géométrique dont le premier terme est \(v_1\) et la raison est \(q\) (avec \(q \neq 1\)).

(a) Écrire la formule générale qui permet de calculer la somme \(S_n\) des \(n\) premiers termes de cette suite géométrique.

(b) En utilisant cette formule, calculer la somme suivante \[\frac{1}{2}- \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}- \frac{1}{16} + \ldots - \frac{1}{4096} +\frac{1}{8192}.\]

Solution

Solution

(a) La somme des \(n\) premiers termes \(S_n\) d'une suite géométrique est donnée par la formule: \[ S_n = v_1 \frac{1-q^n }{1-q} \]

(b) \(v_1=\frac12\) et \(q=-\frac12\)

\( v_n = \frac12 \left(-\frac12\right)^{n-1} = -\left(-\frac12\right)^{n}\)

\(\displaystyle S = -\sum_{k=1}^{13}\left({-}\frac{1}{2}\right)^{k}= \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{14}}}{1+\frac{1}{2}} = \frac{2^{13}+1}{2^{13}\times 3} = \frac{2731}{8192}\)