Variations et monotonie

Dans l'étude des suites numériques, la comparaison des termes successifs est une méthode cruciale pour déterminer la nature d'une suite, qu'elle soit croissante, décroissante, ou ni l'une ni l'autre.

Une suite qui est soit toujours croissante, soit toujours décroissante est dite monotone. Étudier la monotonie d'une suite c'est étudier le sens de variation de celle-ci.

Suite croissante : Une suite $(\mathbf{u}_n)$ est croissante si pour tout entier naturel $n$ , $\mathbf{u}_{n} \leq \mathbf{u}_{n+1} \iff \mathbf{u}_{n+1}-\mathbf{u}_{n} \geq 0.$
Suite décroissante : Une suite $(\mathbf{u}_n)$ est décroissante si pour tout entier naturel $n$ , $\mathbf{u}_{n} \geq \mathbf{u}_{n+1} \iff \mathbf{u}_{n+1}-\mathbf{u}_{n} \leq 0.$

En pratique : pour une suite définie explicitement, deux approches principales sont couramment employées pour examiner la variation des termes d'une suite ${\mathbf{u}_n}$

:
cette première méthode implique l'analyse de la différence entre deux termes consécutifs de la suite, à savoir $\mathbf{u}_{n+1}-\mathbf{u}_n$ (réaliser un tableau des signes)
- Si cette différence est toujours positive, alors la suite ${\mathbf{u}_n}$ est croissante.
- Si elle est toujours négative, alors la suite ${\mathbf{u}_n}$ est décroissante.
- Si la différence varie en signe, alors la suite ${\mathbf{u}_n}$ n'est ni croissante ni décroissante.
:
cette deuxième méthode examine le quotient ou le rapport entre deux termes successifs, c'est-à-dire $\frac{\mathbf{u}_{n+1}}{\mathbf{u}_n}$
- Si, pour tous les $n\in\mathbb{N}$ , $\frac{\mathbf{u}_{n+1}}{\mathbf{u}_{n}} > 1$ , alors chaque terme suivant est plus grand que le précédent, et la suite ${\mathbf{u}_n}$ est croissante.
- Si, pour tous les $n\in\mathbb{N}$ , $\frac{\mathbf{u}_{n+1}}{\mathbf{u}_{n}} < 1$ , alors chaque terme suivant est plus petit que le précédent, et la suite ${\mathbf{u}_n}$ est décroissante.
  Cette méthode du quotient est particulièrement utile lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs et lorsque les expressions associées à la suite se simplifient plus aisément en utilisant des quotients plutôt que des différences.

Exemples

Exemple 1 : étude du sens de variation de la suite $(\textbf{u}_n)_{n\geq 1}$ définie par $\textbf{u}_n=n^2-1$

Solution

On compare deux termes consécutifs en étudiant leur différence :

On détermine $\textbf{u}_{n+1}$ : $\textbf{u}_{n+1}=(n+1)^2-1$
On calcule la différence $\textbf{u}_{n+1}-\textbf{u}_{n}$ : $\textbf{u}_{n+1}-\textbf{u}_{n}=\left((n+1)^2-1\right)-\left(n^2-1\right) = 2n+1$
Quel que soit $n\in\mathbb{N}_0$ , $2n+1$ est strictement positif car $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & \cdots \\ \hline 2n + 1 & + & + & + & + \\ \hline \end{array}$

Conclusion : la suite $(\textbf{u}_n)_{n\geq 1}$ est croissante

Exemple 2 : étude du sens de variation de la suite $(\textbf{v}_n)_{n\geq 1}$ définie par $\textbf{v}_n=\dfrac{2^{n}}{n}$

Solution

On calcule les premiers termes de la suite : $\mathbf{v}_{1}=2 ; \mathbf{v}_{2}=2 ; \mathbf{v}_{3}=\frac{8}{3} ; \mathbf{v}_{4}=4 ; \mathbf{v}_{5}=\frac{32}{5} ; \mathbf{v}_{6}=\frac{32}{3} \ldots$

Constat : les premiers termes de la suite augmentent quand $n$ augmente. Mais on doit prouver que c'est le cas pour tout $n \in \mathbb{N}_0$ !

La suite $\mathbf{v}_n=\dfrac{2^{n}}{n}$ est définie pour tout $n$ naturel non nul (c'est-à-dire pour tout $n$ dans $\mathbb{N}_0$ ). La suite $\mathbf{v}_n$ est toujours positive parce que le numérateur, $2^n$ , est une puissance de 2 et donc toujours positif pour tout $n$ naturel, et le dénominateur, $n$ , est également positif pour tout $n$ dans $\mathbb{N}_0$ .

Pour comprendre pourquoi il est plus efficace de simplifier le quotient $\dfrac{\mathbf{v}_{n+1}}{\mathbf{v}_n}$ , on considère le rapport entre un terme de la suite et le terme précédent. Pour $\mathbf{v}_n=\dfrac{2^n}{n}$ , le rapport est:

$\frac{\mathbf{v}_{n+1}}{\mathbf{v}_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^n}{n}} = \frac{2^{n+1} \cdot n}{2^n \cdot (n+1)} = \frac{2n}{n+1}$

Dans ce cas, les puissances de 2 se simplifient, et le rapport entre deux termes consécutifs de la suite $\mathbf{v}_n$ peut être exprimé en termes d'une fraction simple. Cela rend la comparaison avec 1 beaucoup plus directe.

Pour comparer la fraction $\frac{2n}{n+1}$ à 1, on doit étudier le signe de la différence $\frac{2n}{n+1} - 1$ .

### Étape 1: Mettre sur le même dénominateur $\begin{align*} \frac{2n}{n+1} - \frac{n+1}{n+1} &= \frac{2n - (n+1)}{n+1} \\ &= \frac{n - 1}{n+1} \end{align*}$

### Étape 2: Étudier le signe de la différence Maintenant, on étudie le signe de $\frac{n - 1}{n+1}$ via un tableau de signes :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & \cdots \\ \hline n - 1 & 0 & + & + & + \\ \hline n + 1 & + & + & + & + \\ \hline \frac{n - 1}{n+1} & 0 & + & + & + \\ \hline \end{array}$

Pour $n = 1$ , la fraction $\frac{n - 1}{n+1} = 0$ , donc $\frac{2n}{n+1} = 1$ .
Pour $n > 1$ , la fraction $\frac{n - 1}{n+1}$ est positive, donc $\frac{2n}{n+1} > 1$ .

Conclusion :

La fraction $\frac{2n}{n+1}$ est égale à 1 lorsque $n = 1$ et est supérieure à 1 pour $n > 1$ . Donc, la suite $\textbf{v}_n = \frac{2^n}{n}$ est croissante pour $n \geq 1$ .

En comparaison, la différence entre deux termes successifs, $\mathbf{v}_{n+1} - \mathbf{v}_n$ , nécessiterait plus d'étapes algébriques pour arriver à une forme simplifiée et pourrait ne pas fournir une expression aussi claire pour une comparaison directe. En résumé, l'utilisation du quotient $\frac{\mathbf{v}_{n+1}}{\mathbf{v}_n}$ simplifie les calculs et rend l'analyse de la suite plus intuitive et directe.

Note

Dans un premier temps, pour avoir une idée du comportement de la suite, on peut calculer et représenter les premiers termes de la suite.

Exemple : soit $u_n=2-\dfrac{3}{n}$ pour $n\geqslant1$

Remarque

La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}$ n'est ni croissante ni décroissante.

Les termes d'indice pair sont égaux à $1$ et les termes d'indice impair sont égaux à $-1$ .