Fonctions dérivables et dérivabilité

Une fonction dérivable en un réel $a$ peut posséder une fonction dérivée dont la limite en ce réel n'existe pas.

Pour étudier la dérivabilité d'une fonction en un réel $a$ , on utilisera exclusivement la limite du taux d'accroissement de cette fonction en ce réel : $f'\left(a\right) = \lim\limits_{x \to a} \frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a} \quad \text{ou} \quad f'\left(a\right) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$

Problème résolu : Montrer que la fonction suivante est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f(x) = \begin{cases} x^2 \cdot \cos \left( \frac{1}{x} \right) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$

Continuité sur $\mathbb{R}$ :

Par composée et produit de fonctions continues, $f$ est continue sur $\mathbb{R}_0^-$ et sur $\mathbb{R}_0^+$ .
Est-elle continue en $0$ ? : Oui, car au voisinage de $0$ , $\cos\left( \frac{1}{x} \right)$ oscille entre $-1$ et $1$ , et le facteur $x^2$ assure la limite en $0$ de $f$ . Elle est donc continue en $x = 0$ de par sa définition en ce réel.

Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Dérivabilité sur $\mathbb{R}$ : En tout réel $x$ non nul, $f$ est manifestement dérivable comme composée de telles fonctions et $f'(x) = 2x \cdot \cos\left( \frac{1}{x} \right) + \sin\left( \frac{1}{x} \right)$

Au voisinage de zéro, le terme $\sin\left( \frac{1}{x} \right)$ oscille entre $-1$ et $1$ , et vu que $2x \cdot \cos\left( \frac{1}{x} \right)$ tend vers $0$ , $f'$ ne semble pas avoir de limite en zéro. Il faut s'en assurer !

Qu'en est-il de la dérivabilité de $f$ en zéro ?

Nous devons chercher la limite éventuelle du taux d'accroissement de notre fonction en zéro : $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h^2 \cdot \cos \left( \frac{1}{h} \right)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} h \cdot \underbrace{\cos\left( \frac{1}{h} \right)}_{\in \left[ -1; 1 \right]} = 0$

La fonction $f$ est donc dérivable en zéro et sa dérivée en ce point est nulle.

Conclusion : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Non dérivabilité en un point

Une fonction n'est pas dérivable en $x=a$ si :

le graphe de la fonction possède un trou en $x=a$ .
le graphe possède un saut de discontinuité en $x=a$ (elle saute d'une ordonnée à une autre en $a$ ).
le graphe possède une tangente verticale en $x=a$ ( $f'(a) = \pm \infty$ ).
la droite $x=a$ est une asymptote au graphe.
le graphe de la fonction possède un point anguleux en $x=a$ ( $f'_g(a) \neq f'_d(a)$ ).
le graphe de la fonction possède un point de rebroussement en $x=a$ .

Dérivabilité implique continuité

Soit $I$ un intervalle ouvert, $a \in I$ et soit $f : I \to \mathbb R$ une fonction.

Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$ .
Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$ .

Preuve : pour tout $h\neq 0$ $f(a+h)-f(a) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot h$ Alors $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{f(a+h)-f(a)} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}h = f'(a) \cdot 0 = 0$ car $f'(a)$ existe, pat hypothèse. D'où : $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{f(a+h)-f(a)} = 0 \quad \textrm{ou} \quad \lim\limits_{h \rightarrow 0}{f(a+h) = f(a)} \quad \textrm{ou} \quad \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ ce qui montre la continuité de $f$ en $a$ .

La réciproque de cette propriété est fausse. La continuité en un réel n'implique pas la dérivabilité en ce réel. La fonction valeur absolue en est un contre-exemple.

NDLR : voir Derivabilite.tex