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Injections, surjections, bijections

  • Une fonction \(f \ \colon \ E\to F\) est dite injective, et appelée une injection, si \[ \forall x,y\in E,\ (x\ne y\implies f(x)\ne f(y)). \] Signification : deux éléments distincts de son ensemble de départ $E$ ne peuvent pas avoir la même image par $f$

    Autrement dit, une fonction $f$ est injective si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par $f$ ($0$ ou $1$ antécédent) .

    Note : défintion équivalente → \(\forall x,y\in E,\ ( f(x) = f(y) \implies x = y)\)

  • Une fonction \(f \ \colon \ E\to F\) est dite surjective sur \(F\), et appelée une surjection de \(E\) sur \(F\), si

\[ \forall y\in F,\ \exists x\in E\text{ tel que }f(x)=y. \]

  • Une fonction \(f \ \colon \ E\to F\) est dite bijective entre \(E\) et \(F\), et appelée une bijection de \(E\) sur \(F\), si elle est à la fois injective et surjective sur \(F\), c'est-à-dire, si tout élément de \(F\) possède un unique antécédent par rapport à la fonction $f$.

Caractérisation de l'injectivité d'une fonction continue sur un intervalle

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle.

  1. Si $f$ est strictement monotone, alors elle est injective
  2. Si $f$ est injective, alors elle est strictement monotone

Note : dire que la fonction $f$ est monotone sur un intervalle $I$ signifie que la fonction $f$ est soit croissante sur $I$ soit décroissante sur $I$.

Démonstration de la partie (1) de la proposition : $f$ strictement monotone $\implies$ $f$ injective

On suppose, par exemple, que la fonction $f$ est strictement croissante sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, alors quels que soient les éléments distincts $x_1$ et $x_2$ de $I$, on a, comme $\mathbb R$ est totalement ordonné,
  • soit $x_1<x_2$ donc $f(x_1)<f(x_2)$,
  • soit $x_2<x_1$ donc $f(x_2)<f(x_1)$,

dans les deux cas $f(x_1)$ et $f(x_2)$ sont distincts, ce qui est la définition de “$f$ est injective”.

Démonstration de la partie (2) de la proposition : $f$ continue et injective $\implies$ $f$ strictement monotone est plus complexe à établir.

  • Première étape : Soient $x_1$ et $x_2$ deux éléments de $I$ vérifiant $x_1<x_2$ (rappel : $I$ n'est ni vide ni réduit à un point).
    • Comme $f$ est injective et $\mathbb{R}$ totalement ordonné, on a soit $f(x_1)<f(x_2)$, soit $f(x_2)<f(x_1)$.
    • Si $f(x_1)<f(x_2)$, on montre que $\forall x \in I$,$(x_1<x<x_2)\implies(f(x_1)<f(x)<f(x_2))$.
    • Si $f(x_2)<f(x_1)$, on montre que $\forall x \in I$,$(x_1<x<x_2)\implies (f(x_2)<f(x)<f(x_1))$, par un raisonnement identique au précédent, en intervertissant les rôles joués par $f(x_1)$ et $f(x_2)$
  • Deuxième étape : On montre que quels que soient les éléments $a$ et $b$ de $I$ vérifiant $a<b$, la fonction $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$.
  • Troisième étape : On montre que la fonction $f$ est strictement monotone sur $I$.

Remarque : L'hypothèse de la continuité de $f$ n'intervient pas dans la démonstration de “f strictement monotone $\implies$ f est injective”

Une fonction strictement monotone est toujours injective, qu'elle soit continue ou non ; par contre il est essentiel de supposer que $f$ est continue sur un intervalle pour démontrer la deuxième partie de la proposition : si on enlève la contrainte de la continuité de la fonction, on peut trouver des fonctions injectives et non monotones.

Nature de l'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone

L'image directe d'un intervalle $I=[a,b]$ par $f$ est l'ensemble $J$ tel que $$J = f(I) = \big\{ f(x) \; \big| \; x \in I \big\}$$

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Si $a$ et $b$ désignent les extrémités de l'intervalle $I$ (c'est-à-dire $a$ ou $b$ sont des réels ou sont les symboles $-\infty$ ou $+\infty$) alors les extrémités de l'intervalle $f(I)$ sont $\lim_{x \to a} f(x)$ et $\lim_{x \to b} f(x)$ (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).

De plus les intervalles $I$ et $f(I)$ sont de même nature : fermés, ouverts, ou semi-ouverts.

Remarque : Puisque \( f \) est continue sur \( I \), si l'une des bornes, par exemple \( a \), appartient à \( I \), alors on a : \[ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \]

Exemple : Soit \( a \) un réel donné et soit \( f \) une fonction numérique continue et strictement décroissante sur l'intervalle \( ]-\infty, a] \). Alors, on a : \[ f \Big( ] - \infty, a] \Big) = \Big[ f(a), \underset{x \rightarrow -\infty}{\textrm{lim}} f(x) \Big[\]

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