Les fonctions Cyclométriques

Les fonctions cyclométriques, notées $\arcsin$ , $\arccos$ et $\arctan$ , sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques correspondantes : sinus, cosinus et tangente.

Définition

Rappel : Pour une fonction $f : A \to B$ qui est bijective, il existe une fonction réciproque $f^{-1} : B \to A$ telle que $f(f^{-1}(y)) = y$ pour tout $y \in B$ et $f^{-1}(f(x)) = x$ pour tout $x \in A$ .

La fonction sinus définit une bijection S de $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ dans $[-1,1]$
La fonction cosinus définit une bijection C de $\left[0,\pi\right]$ dans $[-1,1]$
La fonction tangente définit une bijection T de $\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ dans $\mathbb{R}$

Les fonctions cyclométriques sont définies comme suit :

$\forall x\in\left[ -1,1\right] ,\,\arcsin(x) = y \iff \sin(y) = x$ avec $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
$\forall x\in\left[ -1,1\right] ,\,\arccos(x) = y \iff \cos(y) = x$ avec $y \in \left[0, \pi\right]$
$\forall x\in\mathbb{R} ,\,\arctan(x) = y \iff \tan(y) = x$ avec $y \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$

Autrement dit,

Le réel $\arcsin x$ est donc le nombre appartenant à $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ dont le sinus est $x$ .
Le réel $\arccos x$ est donc le nombre appartenant à [0, $\pi$ ] dont le cosinus est x.
Le réel $\arctan x$ est donc le nombre appartenant à $\left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[$ dont la tangente est x.

On a : $\forall x\in\left[ -1,1\right] ,\,\sin\left( \arcsin x\right) =x$
- mais on n'a pas toujours $\arcsin\left( \sin y\right) =y$ . Ce n'est vrai que si $y\in\left[ -\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$ .
- exemple: $\arcsin\left( \sin\pi\right) =0$ .
On a : $\forall x\in [-1,1], \cos(\arccos x) =x$
- mais on n'a pas toujours $\arccos(\cos y) =y$ . Ce n'est vrai que si $y\in [0,\pi]$ .
- exemple: $\arccos(\cos 2\pi) =0.$
On a : $\forall x\in\mathbb{R}, \tan(\arctan x) =x$
- mais on n'a pas toujours $\arctan(\tan y) =y$ . Ce n'est vrai que si $y\in \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[$ .
- exemple: $\arctan(\tan 2\pi) =0.$

Représentations graphiques

vers les exercices (manipulations de graphes)

Propriétés des Fonctions Cyclométriques

Parité : les fonctions arc sinus et arc tangente sont impaires sur leurs domaines de définition respectifs.

Continuité : les fonctions cyclométriques sont continues sur leurs domaines respectifs.

Bijectivité : les fonctions cyclométriques sont bijectives sur leurs domaines spécifiques. Cela signifie qu'elles établissent une correspondance univoque entre les éléments de l'intervalle de départ et ceux de l'intervalle d'arrivée :

$\arcsin(x)$ est bijective sur $[-1, 1]$ et a pour ensemble image $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ .
$\arccos(x)$ est bijective sur $[-1, 1]$ et a pour ensemble image $\left[0, \pi\right]$ .
$\arctan(x)$ est bijective sur $\mathbb{R}$ et a pour ensemble image $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ .

Dérivabilité : voir ici pour quelques exemples de dérivées de fonctions cyclométriques

$\arcsin$ est dérivable sur $]-1, 1[$ : $\left( \arcsin x \right)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ et $\left( \arcsin (u(x)) \right)' = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 - u^2(x)}}$
$\arccos$ est dérivable sur $]-1, 1[$ : $\left( \arccos x \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ et $\left( \arccos (u(x)) \right)' = -\frac{u'(x)}{\sqrt{1 - u^2(x)}}$
$\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ : $\left( \arctan x \right)' = \frac{1}{1 + x^2}$ et $\left( \arctan (u(x)) \right)' = \frac{u'(x)}{1 + u^2(x)}$
rappels : autres formules de dérivation $(u\pm v)' = u'\pm v'$ ; $(u \cdot v)'=u' \cdot v+u \cdot v'$ ; $\left( \frac{u}{v} \right)'= \frac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^2}$ et $(u\circ v)' = (u' \circ v) \cdot v'$

Limites : le graphe de la fonctions arc tangente possède deux asymtptotes horizontales $\bbox[#ead1dc,5px] { \lim\limits_{{x \to -\infty}} \arctan x = -\tfrac{\pi}{2} \text{ et } \lim\limits_{{x \to \infty}} \arctan x = \tfrac{\pi}{2}}$

Sens de variation :

Les fonctions arc sinus et arc tangente sont strictement croissantes sur leurs domaines de définition respectifs.
La fonction arc cosinus est strictement décroissante sur son domaine de définition.

Remarques : en tenant compte du fait que les fonctions sinus et cosinus sont $2\pi$ -périodiques et respectivement impaire et paire et du fait que la fonction tangente est $\pi$ -périodique, il vient :

$x=\sin \theta \iff \theta= \arcsin x + 2k\pi$ ou $\theta=\pi-\arcsin x + 2k\pi$
$x=\cos \theta \iff \theta= \pm \arccos x + 2k\pi$
$x=\tan \theta \iff \theta= \arctan x + k\pi$ (avec $k\in\mathbb{Z}$ )

Domaine de définition

Exploration des Domaines d'Existence des Fonctions Cyclométriques :

domaines : $\mathrm{dom}\left ( \arcsin\right ) = \mathrm{dom}\left ( \arccos\right ) = \left[-1, 1\right]$ et $\mathrm{dom}\left ( \arctan\right ) = \mathbb{R}$
racines : $\arcsin x = 0 \iff x=0$ , $\arccos x = 0 \iff x=1$ et $\arctan x = 0 \iff x=0$

Exemple :

Pour rechercher le domaine de définition de $f : x \mapsto \arccos\left(1-x^2\right)$ , il suffit de poser la condition d'existence suivante $-1\leq 1-x^2\leq 1$ Cette double inéquation se décompose en deux inéquations simples, formant le système suivant : $\begin{cases} 1 - x^2 \geq -1 \\ 1 - x^2 \leq 1 \end{cases}$

Pour résoudre ce système, nous examinons chaque inéquation individuellement.

$1 - x^2 \geq -1 \iff 2 - x^2 \geq 0 \stackrel{TS}{\iff} x\in \left[ -\sqrt{2}\, ; \sqrt{2} \right]$ (TS = Tableau de signes)
$1 - x^2 \leq 1 \iff -x^2\leq 0 \iff x^2\geq 0 \iff x\in\mathbb{R}$

Ces deux conditions doivent être rencontrées en même temps : $x\in \left[ -\sqrt{2}\, ; \sqrt{2} \right] \cap \mathbb{R}$

Finalement, $\mathrm{dom} f = \left[ -\sqrt{2}\, ; \sqrt{2} \right]$

Pour rechercher les racines éventuelles de $f$ : $\arccos\left(1-x^2\right)=0 \stackrel{\scriptsize{\text{rappels}}}{\iff} 1-x^2=1 \iff x^2=0 \iff x=0$

Formulaire

Parité

$\arcsin$ est impaire~: $\forall x\in [-1,1],\, \arcsin (-x)=-\arcsin (x)$
$\arccos$ n'est ni paire, ni impaire, c'est une fonction quelconque.
$\arctan$ est impaire~: $\forall x\in \mathbb R,\, \arctan (-x)=-\arctan (x)$

Arcs complémentaires

$\forall x\in [-1,1],\, \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}2$
$\forall x\in \mathbb R_0,\, \arctan x+\arctan \frac1x=\begin{cases} +\frac{\pi}2 \text{ si } x>0\\ -\frac{\pi}2\text{ si }x<0 \end{cases}$

Arcs doubles

$\forall x\in [-1,1],\, \sin 2\arcsin x=\sin 2\arccos x= 2x\sqrt{1-x^2}$
$\forall x\in [-1,1],\, \cos 2\arcsin x=-\cos 2\arccos x= 1-2x^2$
$\forall x\in\mathbb R\setminus\{\pm 1\},\, \tan 2\arctan x=\frac{2x}{1-x^2}$

Simplification

$\forall x\in ]-1, 1[ : \arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x$
$\forall x\in\mathbb{R} : \textrm{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$
$\forall x\in ]-1, 1[ : \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^2}$
$\forall x\in ]-1, 1[ : \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}$
$\forall x\in ]0, 1[ : \arccos(x) = \arcsin(\sqrt{1 - x^2})$
$\forall x\in ]-1, 1[ : \arccos(x) = \frac{1}{2} \arccos(2x^2-1)$
$\forall x\in ]-1, 1[ : \arcsin(x) = \frac{1}{2} \arccos(1-2x^2)$
$\forall x\in\mathbb{R} : \arctan(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)$

Exemple : Montrer que $\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ sur $]-1, 1[$

Preuve

$\bbox[#e8ebc0,5px] {\begin{aligned}\text{en effet : } \tan(\arcsin x) &= \frac{\sin(\arcsin(x))}{\cos(\arcsin(x))} \\&= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\end{aligned}}$