Exercices complémentaires : exponentielles et logarithmes

\( \newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \def\lr#1#2#3{\ensuremath{\left#1#3\right#2}} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\rlf}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} \renewcommand{\Re}[1]{\textrm{Re}\Par{#1}} \renewcommand{\Im}[1]{\textrm{Im}\Par{#1}} \newcommand{\ii}{{\mathbf{i}}} \newcommand{\e}{{\mathbf{e}}} \newcommand{\Sol}[1]{\left\{ #1 \right\}} \)

Exercice 1 : On considère les fonctions \(f(x) = 3^{x^2 - 5x}\) et \(g(x) = \left(\frac{1}{9}\right)^{-2x^2 + 3x - 2}\)

Déterminez les réels $x$ pour lesquels le graphe de $f$ est au-dessus de celui de $g$.

Exercice 2 : Calculez les limites suivantes :

n° 2.1 : $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty }(\ln (1+\e^{-x}))^{\frac{1}{x}}$

Solution

Solution

\begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow + \infty }(\ln (1+\e^{-x}))^{\frac{1}{x}} & = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \exp\left(\frac{1}{x} \ln\left(\ln (1+\e^{-x})\right)\right) \\ & = \exp\left(\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \frac{\ln\left(\ln (1+\e^{-x})\right)}{x} \right) \\ & = \exp\left(\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \left(\ln\left(\ln (1+\e^{-x})\right)\right)^{\prime} \right) \\ & = \exp\left(\lim\limits_{x\rightarrow + \infty }\frac{-\e^{-x}}{(1+\e^{-x}) \ln(1+\e^{-x})}\right) \\ & = \exp\left(-\lim\limits_{x\rightarrow + \infty }\frac{\e^{-x}}{\ln(1+\e^{-x})}\right) \quad \textrm{car} \ \ 1+\e^{-x} \to 1\\ & = \exp\left(-\lim\limits_{x\rightarrow + \infty }\frac{\left(\e^{-x}\right)'}{\left(\ln(1+\e^{-x})\right)'}\right) \\ & = \exp\left(-\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } 1+\e^{-x} \right)= \exp\left(-1\right) = \frac{1}{\mathbf{e}} \end{align*}


n° 2.2 : $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{\frac{1}{\ln (\e^{x}-1)}}$

n° 2.3 : $\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{\e^{-ax}-\e^{-bx}}{x}$

n° 2.4 : $\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{\ln (1+x^3)}{x}$


note : \(f(x)^{g(x)} = \exp\left(g(x)\cdot \ln\left(f(x)\right)\right)\)

Exercice 3 : Étudier les asymptotes de $f (x) = \e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}$.

Exercice 4 : Résoudre dans \(\mathbb R\) l'équation logarithmique \(3\sqrt{\log x} + 2\sqrt{\log \left(\frac{1}{x}\right)}=2\)