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−Table des matières

Géométrie analytique dans l'espace

Perpendiculaire commune à deux droites gauches

Pour déterminer la perpendiculaire commune entre deux droites dans l'espace, il faut suivre plusieurs étapes. Voici une méthode générale pour trouver cette perpendiculaire commune :

Étapes pour déterminer la perpendiculaire commune

Soient deux droites données sous forme paramétrique :

d1:{x=x1+λ u1y=y1+λ u2z=z1+λ u3etd2:{x=x2+μ v1y=y2+μ v2z=z2+μ v3

où →u=(u1,u2,u3) est un vecteur directeur de d1 et →v=(v1,v2,v3) celui de d2.

  1. Poser deux points variables :
    • A(λ)∈d1
    • B(μ)∈d2
  2. Former le vecteur →AB.
  3. Imposer l’orthogonalité : →AB⋅→v1=0et→AB⋅→v2=0
  4. Résoudre ce système linéaire en λ et μ pour déterminer les bons points A et B.
  5. La perpendiculaire commune est la droite passant par A et B et de vecteur directeur →AB.

Exemple

Étape 1 : Poser deux points variables

On prend un point A(λ)∈d1 et un point B(μ)∈d2 :

A(λ)=(1+λ, 2, 3+λ),B(μ)=(4, 5+μ, 6+μ)

Étape 2 : Former le vecteur →AB

→AB=B−A=(3−λ, 3+μ, 3+μ−λ)

Étape 3 : Imposer l’orthogonalité à chaque droite

Les vecteurs directeurs des droites sont : →v1=(1, 0, 1),→v2=(0, 1, 1)

On impose : →AB⋅→v1=0et→AB⋅→v2=0

Ce qui donne : (3−λ)(1)+(3+μ)(0)+(3+μ−λ)(1)=0⟹6+μ−2λ=0(1)

(3−λ)(0)+(3+μ)(1)+(3+μ−λ)(1)=0⟹6+2μ−λ=0(2)

Étape 4 : Résolution du système

De (1) : μ=2λ−6

On remplace dans (2) : 6+2(2λ−6)−λ=0⟹3λ−6=0⟹λ=2

Alors : μ=−2

Étape 5 : Déterminer les points

A=(1+2, 2, 3+2)=(3, 2, 5)B=(4, 5−2, 6−2)=(4, 3, 4)

→AB=(1, 1, −1)

Conclusion : équation de la perpendiculaire commune

La perpendiculaire commune est la droite passant par A=(3, 2, 5) et de vecteur directeur →AB=(1, 1, −1) :

{x=3+ty=2+tz=5−tt∈R

Calcul de la distance entre deux droites dans l'espace

Distance entre deux droites non coplanaires

La distance entre deux droites gauches est la plus courte distance séparant deux droites qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. dist(d1,d2)=‖

où A \in d_1 et B \in d_2 sont les extrémités du segment [AB] orthogonal aux deux droites.

Exemple

Dans notre exemple :

On avait trouvé :

  • A = (3,\ 2,\ 5)
  • B = (4,\ 3,\ 4)
  • \overrightarrow{AB} = (1,\ 1,\ -1)

Donc : \text{dist}(d_1, d_2) = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}

la distance entre d_1 et d_2 est \sqrt{3} .

Exercice

Exercice 1 : Soit d_1 \equiv \left\{ \begin{array} { l } x = r + 1 \\ y = - r + 2 \\ z = 2 r - 1 \end{array} \right. et d_2 \equiv \left\{ \begin{array} { l } x = - s + 1 \\ y = s - 2 \\ z = 2 s \end{array} \right.

  1. Déterminer les points les plus proches de deux droites données.
  2. Déterminer la perpendiculaire commune entre deux droites données.
  3. Déterminer la distance entre deux droites données.

Solution

Solution

1. Déterminer les points les plus proches de deux droites données.

On pose :

  1. A(r) = (r + 1,\ -r + 2,\ 2r - 1) \in d_1
  2. B(s) = (-s + 1,\ s - 2,\ 2s) \in d_2

Le vecteur \overrightarrow{AB} = B - A est :

\overrightarrow{AB} = (-s + 1 - r - 1,\ s - 2 + r - 2,\ 2s - (2r - 1)) = (-s - r,\ s + r - 4,\ 2s - 2r + 1)

Vecteurs directeurs des droites :

  1. \vec{v}_1 = (1,\ -1,\ 2)
  2. \vec{v}_2 = (-1,\ 1,\ 2)

On impose : \overrightarrow{AB} \cdot \vec{v}_1 = 0 \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AB} \cdot \vec{v}_2 = 0

Calcul du 1er produit scalaire : (-s - r)(1) + (s + r - 4)(-1) + (2s - 2r + 1)(2) = 0 \\ \Rightarrow -s - r - s - r + 4 + 4s - 4r + 2 = 0 \\ \Rightarrow (2s - 6r + 6) = 0 \tag{1}

Calcul du 2e produit scalaire : (-s - r)(-1) + (s + r - 4)(1) + (2s - 2r + 1)(2) = 0 \\ \Rightarrow s + r + s + r - 4 + 4s - 4r + 2 = 0 \\ \Rightarrow (6s - 2r - 2) = 0 \tag{2}

Résolution du système :

(1) 2s - 6r + 6 = 0 \Rightarrow s = 3r - 3

On injecte dans (2) : 6(3r - 3) - 2r - 2 = 0 \Rightarrow 18r - 18 - 2r - 2 = 0 \Rightarrow 16r = 20 \Rightarrow r = \frac{5}{4} s = 3r - 3 = \frac{15}{4} - \frac{12}{4} = \frac{3}{4}

Points les plus proches :

A = \left( \frac{5}{4} + 1,\ -\frac{5}{4} + 2,\ 2 \cdot \frac{5}{4} - 1 \right) = \left( \frac{9}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{3}{2} \right) \\ B = \left( -\frac{3}{4} + 1,\ \frac{3}{4} - 2,\ 2 \cdot \frac{3}{4} \right) = \left( \frac{1}{4},\ -\frac{5}{4},\ \frac{3}{2} \right)

2. Déterminer la perpendiculaire commune entre deux droites données.

La droite perpendiculaire commune est la droite passant par les points A et B , donc de vecteur directeur :

\overrightarrow{AB} = B - A = (-2,\ -2,\ 0)

Une équation paramétrique est donc :

\begin{cases} x = \dfrac{9}{4} - 2t \\ y = \dfrac{3}{4} - 2t \\ z = \dfrac{3}{2} \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

On peut aussi écrire cette équation en prenant le point B comme origine (choix libre)

3. Distance entre les deux droites

\text{Distance} = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Distance entre droites non coplanaires (plateforme d'exercices WIMS)

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