Calcul vectoriel

• Un vecteur est défini par une direction, un sens et une longueur (sa norme). Soit $A$ et $B$ deux points distincts. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par
  • sa direction, celle de la droite $(AB)$;
  • par sa longueur $AB$, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$;
  • et par son sens, de $A$ vers $B$.
• le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul, il est aussi noté $\overrightarrow{0}$.
• Il représente graphiquement une translation.
• Deux vecteurs ayant la même direction, le même sens et la même longueur sont égaux.
  • dans le parallélogramme ABCD, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont égaux.
• On note souvent un vecteur par une seule lettre \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \,.\)

Dans un repère cartésien, un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) de coordonnées \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) est donné par : \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]

La relation de Chasles

Étant donnés trois points quelconques du plan $A$, $B$ et $C$, on a : \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]

En coordonnées : \[ (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \]

1ère méthode : Pour représenter la somme $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$,

• On prend un point quelconque $A$;
• On représente $\overrightarrow{AB}$, un représentant de $\overrightarrow{u}$;
• On représente $\overrightarrow{BC}$, un représentant de $\overrightarrow{v}$;
• On a donc $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ d'après la relation de Chasles.

\begin{tikzpicture}[thick]
    \draw[->,>=latex] (0,1)--(2,2) node[pos=.5,above]{$\overrightarrow{u}$};
    \draw[->,>=latex] (3,1)--(4,1) node[pos=.5,above]{$\overrightarrow{v}$};
    \draw (0,3) node[left]{$A$};
    \draw[->,>=latex] (0,3)--(2,4) node[above]{$B$};
    \draw[dotted] (0,1)--(0,3) (2,2)--(2,4);
    \draw[->,>=latex] (2,4)--(3,4) node[right]{$C$};
    \draw[dotted] (3,1)--(2,4) (4,1)--(3,4);
    \draw[->,>=latex,FireBrick] (0,3) node[left,FireBrick]{$A$} -- (3,4) node[right,FireBrick]{$C$};
\end{tikzpicture}

2e méthode : Pour représenter la somme $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$,

• On prend un point quelconque $A$;
• On représente $\overrightarrow{AB}$, un représentant de $\overrightarrow{u}$;
• On représente $\overrightarrow{AC}$, un représentant de $\overrightarrow{v}$;
• On a donc $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$;
• On place $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme;
• Et alors $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AD}$.

\begin{tikzpicture}[thick]
    \draw[->,>=latex] (0,1)--(2,2) node[pos=.5,above]{$\overrightarrow{u}$};
    \draw[->,>=latex] (3,1)--(4,1) node[pos=.5,above]{$\overrightarrow{v}$};
    \draw (0,3) node[left]{$A$};
    \draw[->,>=latex] (0,3)--(2,4) node[above]{$B$};
    \draw[dotted] (0,1)--(0,3) (2,2)--(2,4);
    \draw[->,>=latex] (0,3)--(1,3) node[below]{$C$};
    \draw[dotted] (3,1)--(0,3) (4,1)--(1,3);
    \draw[dotted] (2,4)--(3,4) node[right]{$D$} (1,3) -- (3,4);
    \draw[->,>=latex,DarkGreen] (0,3) node[left,DarkGreen]{$A$}--(3,4) node[right,DarkGreen]{$D$};
\end{tikzpicture}

Pour un réel \(k\) et un vecteur \(\overrightarrow{AB} = (x, y)\) : \[ k \cdot \overrightarrow{AB} = (k x, k y) \]

Le milieu \(M\) du segment \([AB]\) est donné par : \[ M \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \]

La norme d'un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est donnée par : \[ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Définition : Dans le plan (espace vectoriel de dimension 2), une base est constituée de deux vecteurs linéairement indépendants. Un repère du plan est une base vectorielle à laquelle on associe une origine, permettant de définir un système de coordonnées.

Application : Les repères permettent de localiser précisément les points et les vecteurs dans le plan en utilisant des coordonnées.

L'ensemble des vecteurs muni de l'addition et de la multiplication scalaire forme un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\).

• Espaces vectoriels :
  • $\left(\mathbb{R}, \Pi_{0}, +\right)$ : Cet espace vectoriel est constitué de vecteurs dans le plan, représentés graphiquement à partir d'une origine commune $O$. Les vecteurs sont additionnés selon les règles de la géométrie plane ($(\Pi_{0}, +)$ est un groupe commutatif). Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de $\Pi_{0}$, $r$ et $s$ deux réels ; la multiplication des vecteurs par un réel vérifie les propriétés suivantes :
    • $r \cdot \vec{u} \in \Pi_{0}$
    • $(r + s) \cdot \vec{u} = r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{u}$ (distributivité de la multiplication par rapport à l'addition de réels)
    • $r \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = r \cdot \vec{u} + r \cdot \vec{v}$ (distributivité de la multiplication par rapport à l'addition des vecteurs)
    • $r \cdot (s \cdot \vec{u}) = (r \cdot s) \cdot \vec{u}$ (associativité mixte)
    • $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$
  • $\left(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2, +\right)$ : Cet espace vectoriel est constitué de vecteurs dans un espace à deux dimensions, représentés par des coordonnées dans un repère cartésien. Les vecteurs sont manipulés en utilisant leurs coordonnées.
    • Note : l'ensemble des vecteurs muni de l'addition forme un groupe commutatif \((\mathbb{R}^2, +)\).
• Propriétés de la multiplication par des réels :
  • Dans ces espaces, les vecteurs peuvent être multipliés par des nombres réels (scalaires). Cette opération modifie la longueur du vecteur (en le multipliant par la valeur absolue du scalaire) et peut inverser son sens si le scalaire est négatif.
  • Les propriétés de cette multiplication incluent la distributivité par rapport à l'addition des réels et des vecteurs, ainsi que l'associativité mixte.

Définition : Une combinaison linéaire de vecteurs est une somme de vecteurs, chacun multiplié par un scalaire. Si $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n$ sont des vecteurs et $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sont des scalaires, alors une combinaison linéaire de ces vecteurs est donnée par : \[ a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + \cdots + a_n\vec{v}_n \]

Application : Les combinaisons linéaires sont utilisées pour exprimer un vecteur en termes d'autres vecteurs, ce qui est fondamental pour la décomposition vectorielle et le changement de base.

Définition : La décomposition vectorielle consiste à exprimer un vecteur comme une combinaison linéaire d'autres vecteurs, généralement les vecteurs d'une base. Si $\vec{u}$ est un vecteur et $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_n\}$ est une base, alors $\vec{u}$ peut être écrit comme : \[ \vec{u} = c_1\vec{e}_1 + c_2\vec{e}_2 + \cdots + c_n\vec{e}_n \] où $c_1, c_2, \ldots, c_n$ sont des scalaires uniques.

Définition : Une base vectorielle est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent un espace vectoriel. Dans un espace vectoriel de dimension $n$, une base est constituée de $n$ vecteurs.

Application : Les bases vectorielles sont utilisées pour représenter tous les vecteurs de l'espace en termes de combinaisons linéaires de ces vecteurs de base.

Définition : Le changement de base consiste à exprimer les vecteurs d'une base en termes des vecteurs d'une autre base. Cela implique de trouver les coefficients de la décomposition des vecteurs de l'ancienne base dans la nouvelle base.

Application : Le changement de base est utilisé pour simplifier les calculs ou pour adapter les vecteurs à des contextes spécifiques, comme l'alignement avec des axes physiques ou géométriques.

Application des vecteurs pour démontrer des propriétés géométriques comme :

• Le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et vaut sa moitié.
• Tout quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.