Angles associés et identités trigonométriques

Les formules des angles associés en trigonométrie sont très utiles pour simplifier des expressions trigonométriques, résoudre des équations trigonométriques, et effectuer des calculs trigonométriques plus rapidement et efficacement.
Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques, vérifiée pour toutes les valeurs possibles des variables intervenant dans la relation.

Ces identités peuvent servir à simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques ou à la transformer (par exemple pour en calculer une primitive ). Elles constituent donc une boîte à outils utile pour la résolution de problèmes.

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Angles opposés

\begin{align} \sin(x) & = -\sin(-x) \\ \cos(x) & = \cos(-x) \\ \tan(x) & = -\tan(-x) \\ \cot(x) & = -\cot(-x) \end{align}

Angles complémentaires

\begin{align} \sin(x) & = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ \cos(x) & = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ \tan(x) & = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ \cot(x) & = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \end{align}

Angles supplémentaires

\begin{align} \sin(x) & = \sin\left(\pi - x\right) \\ \cos(x) & = -\cos\left(\pi - x\right) \\ \tan(x) & = -\tan\left(\pi - x\right) \\ \cot(x) & = -\cot\left(\pi - x\right) \end{align}

Angles anti-supplémentaires

\begin{align} \sin(x) & = -\sin(\pi+x) \\ \cos(x) & = -\cos(\pi+x) \\ \tan(x) & = \tan(\pi+x) \\ \cot(x) & = \cot(\pi+x) \end{align}

Identités trigonométriques de base

$\sin^2 {x} + \cos^2 {x} = 1$ (Pythagore)
$1 + \tan^2 {x} = \sec^2 {x}$ où $\sec \left(x\right) = \frac{1}{\cos \left(x\right)}$ (la fonction sécante notée $\sec \theta$ est définie par $\frac{1}{\cos \theta}$)
$1 + \cot^2 {x} = \csc^2 {x}$ où $\csc \left(x\right) = \frac{1}{\sin \left(x\right)}$ (la fonction cosécante notée $\csc \theta$ est définie par $\frac{1}{\sin \theta}$)