Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a∈I.
La fonction f est dite dérivable en a si, et seulement si, le taux de variation moyen de f au voisinage de a, donné par f(a+h)−f(a)h, tend vers une limite finie lorsque h tend vers 0.
Lorsque cette limite existe et est finie, elle représente le taux de variation instantané de f en a. Ce taux est appelé le nombre dérivé de f au point a. Il est symbolisé par f′(a) et donne la pente de la tangente à la courbe de f au point a.
Avec les notations du graphique ci-contre: 
Lorsque “h→0”, le point M se rapproche de A.
f(a+h)−f(a)h=MPAP=ΔyΔx est le coefficient directeur de la droite dAM.
Soit f une fonction dérivable en a et C sa courbe représentative dans un repère du plan.
m=limh→0f(a+h)−f(a)h=f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse a.
Cette tangente a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a).
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Si la fonction f′ est elle-même dérivable sur I, la dérivée de f′ sera notée f" ou f(2). On l'appelle dérivée seconde de f. Si la fonction f″ est à son tour dérivable sur I, la dérivée de f″ sera notée f‴ ou f(3). On l'appelle dérivée troisième de f et ainsi de suite.
Avec la notation différentielle, lorsque la variable est x on écrit alors :
f′=dfdx=ddxf f″=(f′)′=ddx(dfdx)=d2fdx2=d2dx2f f(3)=(f″)′=ddx(d2fdx2)=d3fdx3…
Leibniz a utilisé la notation différentielle pour déterminer la vitesse d'évolution d'un phénomène.
Considérons par exemple le mouvement d'un mobile se déplaçant sur une droite. À un instant t, le mobile se trouve à une abscisse x.
Si on considère une distance infiniment petite dx correspondant à un temps infiniment petit dt, la vitesse instantanée à l'instant t s'exprime par v(t)=dxdt.
De même, l'accélération instantanée à l'instant t s'exprime par a(t)=dvdt=ddtdxdt=d2xdt2
Lorsque la variable est le temps, t, les physiciens utilisent parfois une autre notation (due à Newton) :
v(t0)=˙x(t0)a(t0)=˙v(t0)=¨x(t0)
