Exploration du Calcul des Limites des Fonctions Cyclométriques
Règle de l'Hospital
- La règle de l'Hospital est permet de lever certaines limites indéterminées. Elle s'applique dans le contexte où on considère deux fonctions dérivables f et g en un point x0 ou à l'infini, et où le quotient f(x)g(x) est sous forme indéterminée 00 ou ±∞±∞.
- Principe de la règle de l'Hospital : Si f′(x)g′(x) admet une limite finie ℓ lorsque x→x0 ou x→±∞, alors f(x)g(x) tend également vers ℓ.
- Hypothèses requises :
- Les fonctions f et g s'annulent en x0 (ou tendent vers ±∞ dans les cas infinis).
- La dérivée g′ ne s'annule pas autour de x0 (ou pour des valeurs suffisamment grandes de x si on tend vers ±∞).
- Conclusion : la règle de l'Hospital permet de lever l'indétermination en remplaçant le calcul de lim par celui de \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} . Cette règle est aussi valide pour les limites à l'infini dans les cas de forme indéterminée \frac{\pm \infty}{\pm \infty} .
Méthode par l'exemple
1. \bbox[lightblue,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(\arctan(x) + \frac{\arcsin(x)}{x}\right)}
Cette limite n'existe pas (ne peut être calculée) car \dom f = \intf{-1}{1}\setminus \{0\}
Conclusion : il faut toujours rechercher le domaine d'existence de la fonction avant de calculer sa limite.
2. \bbox[lightblue,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)}
- On peut calculer cette limite car \dom f = \mathbb{R}_0.
- À droite de 0 : \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right) = \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x\right)\cdot \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)= 0\cdot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
- À gauche de 0 : \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right) = \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}x\right)\cdot \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)\right) = 0\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0
Les limites directionnelles sont identiques, on peut donc écrire : \lim\limits_{x\rightarrow 0} x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right) = 0 Conclusion : étant donné l'absence de formes indéterminées, il est interdit d'appliquer la règle de l'Hospital.
Remarque : le graphe de f admet un point creux en (0,0).
3. \bbox[lightblue,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)}
- \dom f = \mathbb{R}_0
- \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right) = \left(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x\right)\cdot \left(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)\right) = \left ( +\infty\right ) \cdot \left ( 0\right ) est une forme indéterminée.
- Conclusion : on peut appliquer la règle de l'Hospital !
Pour appliquer la règle de l'Hospital à un produit de deux fonctions, il est souvent nécessaire de le transformer en un quotient.
Il faut écrire l'une des fonctions sous forme d'inverse, c'est-à-dire que f(x) \cdot g(x) devient \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} ou \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}} . \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x\cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)}{1/x} \stackrel{\text{FI}}{=}\left[\frac{0}{0}\right] \stackrel{\text{H}}{=} \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(\arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)^\prime}{\left(1/x\right)^\prime} = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\pi x^2}{x^2+\pi^2 } = \pi Remarque : le graphe de f admet une asymptote horizontale à droite d'équation y=\pi.
Rappelons-nous toujours de vérifier les conditions d'application de la règle de l'Hospital et de ne pas l'utiliser mécaniquement.