Exploration du Calcul des Limites des Fonctions Cyclométriques
Règle de l'Hospital
- La règle de l'Hospital est permet de lever certaines limites indéterminées. Elle s'applique dans le contexte où on considère deux fonctions dérivables f et g en un point x0 ou à l'infini, et où le quotient f(x)g(x) est sous forme indéterminée 00 ou ±∞±∞.
- Principe de la règle de l'Hospital : Si f′(x)g′(x) admet une limite finie ℓ lorsque x→x0 ou x→±∞, alors f(x)g(x) tend également vers ℓ.
- Hypothèses requises :
- Les fonctions f et g s'annulent en x0 (ou tendent vers ±∞ dans les cas infinis).
- La dérivée g′ ne s'annule pas autour de x0 (ou pour des valeurs suffisamment grandes de x si on tend vers ±∞).
- Conclusion : la règle de l'Hospital permet de lever l'indétermination en remplaçant le calcul de limx→x0f(x)g(x) par celui de limx→x0f′(x)g′(x). Cette règle est aussi valide pour les limites à l'infini dans les cas de forme indéterminée ±∞±∞.
Méthode par l'exemple
1. \(\bbox[lightblue,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(\arctan(x) + \frac{\arcsin(x)}{x}\right)}\)
Cette limite n'existe pas (ne peut être calculée) car domf=[−1;1]∖{0}
Conclusion : il faut toujours rechercher le domaine d'existence de la fonction avant de calculer sa limite.
2. \(\bbox[lightblue,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)}\)
- On peut calculer cette limite car domf=R0.
- À droite de 0 : limx→0+x⋅arctan(πx)=(limx→0+x)⋅(limx→0+arctan(πx))=0⋅(π2)=0
- À gauche de 0 : limx→0−x⋅arctan(πx)=(limx→0−x)⋅(limx→0−arctan(πx))=0⋅(−π2)=0
Les limites directionnelles sont identiques, on peut donc écrire : limx→0x⋅arctan(πx)=0 Conclusion : étant donné l'absence de formes indéterminées, il est interdit d'appliquer la règle de l'Hospital.
Remarque : le graphe de f admet un point creux en (0,0).
3. \(\bbox[lightblue,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x \cdot \arctan\left(\frac{\pi}{x}\right)}\)
- domf=R0
- limx→+∞x⋅arctan(πx)=(limx→+∞x)⋅(limx→+∞arctan(πx))=(+∞)⋅(0) est une forme indéterminée.
- Conclusion : on peut appliquer la règle de l'Hospital !
Pour appliquer la règle de l'Hospital à un produit de deux fonctions, il est souvent nécessaire de le transformer en un quotient.
Il faut écrire l'une des fonctions sous forme d'inverse, c'est-à-dire que f(x)⋅g(x) devient f(x)1g(x) ou g(x)1f(x). limx→+∞x⋅arctan(πx)=limx→+∞arctan(πx)1/xFI=[00]H=limx→+∞(arctan(πx))′(1/x)′=limx→+∞πx2x2+π2=π Remarque : le graphe de f admet une asymptote horizontale à droite d'équation y=π.
Rappelons-nous toujours de vérifier les conditions d'application de la règle de l'Hospital et de ne pas l'utiliser mécaniquement.