Exponentielle naturelle et nombre d'Euler
La fonction exponentielle qui est égale à sa dérivée est appelée fonction exponentielle naturelle ou encore népérienne. La base de cette fonction exponentielle particulière est notée e et vaut approximativement 2,718 comme nous allons le montrer dans ce qui suit.
Pour que exp′e(x)=expe(x), il suffit de poser exp′e(0)=1. On a : exp′e(0)=1⟺limh→0eh−1h=1⟺eh−1h≈1 quand h≈0 (h très proche de 0)
Cela signifie aussi que eh−1≈h quand h≈0, et de fil en aiguille : eh≈1+h quand h≈0⟺e≈(1+h)1h quand h≈0
Finalement : e=limh→0(1+h)1h ou bien e=limn→+∞(1+1n)n(posern=1/h)
On note exp cette fonction (on omet le “e” en indice) : exp(x)=ex
Nombre d'Euler
Nombre d'Euler : e=limn→+∞(1+1n)n=limh→0(1+h)1h≈2,71828
Calculs de limites : limn→+∞(n+3n)n=limn→+∞(1+3n)n=(limn→+∞(1+3n)n3)3=e3
Propriétés
On note exp(x)=ex. La fonction exp est définie, continue et dérivable sur R.
- Pour tout x∈R : exp(x)>0.
- Pour tout x∈R et y∈R, exp(x+y)=exp(x)⋅exp(y)
- Pour tout x∈R et y∈R, exp(x−y)=exp(x)exp(y)
- Pour tout x∈R et n∈Z, exp(nx)=(exp(x))n
Variations
Résolution d'équation
Résoudre dans R l'équation e2x=ex+1+ex−e e2x=ex+1+ex−e⟺e2x−(e+1)ex+e=0
- On pose y=ex : y2−(e+1)y+e=0
- Somme des racines = e+1 et Produit des racines = e
- Les racines sont 1 et e, par conséquent ex=1 et ex=e.
On trouve S={0 ; 1}.
Domaines de fonctions
Soit f:x↦√1−e2x
CE : 1−e2x≥0⟺1≥e2x⟺e0≥e2x⟺0≥2x⟺x≤0
domf=R−
Limites aux bords du domaine
limx→+∞ex=+∞etlimx→−∞ex=0
Formule pratique : limx→+∞exp(f(x))=exp(limx→+∞f(x))
Exemple : limx→+∞e−x2=elimx→+∞−x2=e−∞=0
Règle de l'Hospital
Dérivation
Nombre dérivé en 0 : limx→0ex−1x=e′(0)=1
formules : (ex)′=ex et (eu(x))′=u′(x)⋅eu(x)
Etude de la fonction de Gauss
(e−x2)′=e−x2⋅(−x2)′=−2x⋅e−x2⇄ variations de fonction
