Calcul d'aires - Quadratures

Objectif de la séquence :

• calculer une aire délimitée par une courbe définie par une fonction de signe variable, l'axe des abscisses et deux droites parallèles à l'axe des ordonnées d'équations $x=a$ et $x=b$;
• calculer une aire délimitée par deux courbes différentes.

Vocabulaire : La quadrature d'une surface limitée par des courbes ou des droites est le calcul de son aire.

• Pour calculer l'aire $A$ d'une partie du plan limitée par la courbe d'équation $y = f(x)$, l'axe $x$ et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$, lorsque $f$ est intégrable sur $[a, b]$ :
  • si $f$ est positive sur $[a, b]$, alors $\displaystyle A = \int_a^b f(x) \,dx$ ;
  • si $f$ est négative sur $[a, b]$, alors $\displaystyle A = -\int_a^b f(x) \,dx$ ;
  • sinon on partage l'intervalle $[a, b]$ en sous-intervalles sur lesquels $f$ est soit positive, soit négative et on additionne toutes les intégrales positives à qui on ajoute l'opposé de toutes les intégrales négatives.

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