Exercices sur les ellipses

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Exercice 1 : Pour chacune des ellipses suivantes, indiquer la coordonnée du centre, des sommets, des foyers et des points d'intersection avec les axes du repère cartésien après avoir trouvé les équations cartésiennes pré-réduites et développées.

Solution :

ellipse de gauche : centre $\left( 3,0 \right)$ ; sommets : $\left( 7,1 \right)$, $\left( 3,2 \right)$, $\left( -1,0 \right)$, $\left( 3,-2 \right)$ ; foyers $\left( 3 \pm 2\sqrt{3},0 \right)$

$\mathcal{E}_1 \equiv \frac{\left( x-3 \right)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ ou $\mathcal{E}_1 \equiv x^2 - 6x + 4y^2 - 7 = 0$

ellipse de droite : centre $\left( -1,-2 \right)$ ; sommets : $\left( 2,-2 \right)$, $\left( -1,2 \right)$, $\left( -4,-2 \right)$, $\left( -1,-6 \right)$ ; foyers $\left( -1,-2 \pm \sqrt{7} \right)$

$\mathcal{E}_2 \equiv \frac{\left( x+1 \right)^2}{9} + \frac{\left( y+2 \right)^2}{16} = 1$ ou $\mathcal{E}_2 \equiv 16x^2 + 9y^2 + 32x + 36y - 92 = 0$.

Exercice 2 : Soit le lieu $\Gamma$ des points $M(x,y)$ qui verifient $x^2+y^2-x+3y+1=0$

Montrer que l'on peut mettre l'équation de $\Gamma$ sous la forme réduite $X^2+Y^2=\frac{3}{2}$
Quelle est la nature (cercle, ellipse, hyperbole) de $\Gamma$ ? Indiquer ses caractéristiques.

Solution :

$\begin{aligned}[t] x^2+y^2-x+3y+1=0 &\iff x^2-x+ \tfrac{1}{4}- \tfrac{1}{4} +y^2+3y+ \tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{4}+1=0\\ &\iff \left( x-\tfrac{1}{2} \right)^2- \tfrac{1}{4} +\left( y-\tfrac{3}{2} \right)^2-\tfrac{9}{4}+1=0\\ &\iff \left( x-\tfrac{1}{2} \right)^2 +\left( y-\tfrac{3}{2} \right)^2 =\tfrac{3}{2} \iff X^2+Y^2=\tfrac{3}{2}\\ \end{aligned}$
la nature de la conique est un cercle de rayon $\sqrt{\frac{3}{2}}$ et de centre $\left( \frac{1}{2} ,\frac{3}{2}\right)$

Exercice 3 : Considérons le lieu $\Gamma$ des points $M(x, y)$ qui vérifient : $ 4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0 $

Montrez que l'on peut mettre l'équation de $\Gamma$ sous la forme (pré-)réduite $\left(\frac{x - 3}{3}\right)^2 + \left(\frac{y + 2}{2}\right)^2 = 1 $
Déterminez l'équation réduite de la conique $\Gamma$. Quelle est la nature de $\Gamma$ ? En déduire ses caractéristiques (la coordonnée de son centre, la longueur du grand axe, du petit axe, la distance entre les deux foyers).

Solution :

$\begin{aligned}[t] 4x^2 - 24x + 9y^2 + 36y + 36 = 0 &\iff 4(x^2 - 6x) + 9(y^2 + 4y)+ 36 = 0\\ &\iff 4(x^2 - 6x+9)-36 + 9(y^2 + 4y+4)-36+ 36 = 0\\ &\iff 4(x - 3)^2 - 36 + 9(y + 2)^2 - 36 + 36 = 0\\ &\iff 4(x - 3)^2 + 9(y + 2)^2 = 36 \end{aligned}$
Divisons toute l'équation par 36 : $ \frac{(x - 3)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1 $
l'équation réduite de la conique est $\frac{X^2}{3^2} + \frac{Y^2}{2^2} = 1$ : cette forme correspond à celle d'une ellipse. centre de $\Gamma$ : $(3,-2)$, longueur du grand axe $a=3$, longueur du petit axe $b=2$ axe focal horizontal : $d(\mathrm{F,F'}) = 2c = 2 \sqrt{9-4} = 2 \sqrt{5}$

Exercice 4 : Déterminer pour chacune des ellipses définies analytiquement suivantes l'équation réduite (ce qu'on appelle aussi la forme canonique de l'équation de la conique), le centre (de symétrie), les demi-axes ainsi que les sommets :

$9x^2 + 4y^2 - 18x - 24y + 9 = 0 $
$x^2 + 4y^2 - 6x + 8y - 3 = 0 $
$5x^2 + y^2 - 10x + 4y + 4 = 0 $
$2x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 6 = 0 $
$3x^2 + 5y^2 - 12x + 10y + 8 = 0 $
$3x^2 + 5y^2 - 12x + 10y + 24 = 0 $

Solution :

$9x^2 + 4y^2 - 18x - 24y + 9 = 0 \iff \frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$
1. Caractéristiques de l'ellipse :
  1. Centre : $(1, 3)$.
  2. Axes : Demi-axe horizontal $a = 2$ et Demi-axe vertical $b = 3$.
  3. Sommets :
    1. Horizontal : $(1 \pm 2, 3) = (-1, 3)$ et $(3, 3)$.
    2. Vertical : $(1, 3 \pm 3) = (1, 0)$ et $(1, 6)$.
$x^2 + 4y^2 - 6x + 8y - 3 = 0 \iff \frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$
1. Caractéristiques de l'ellipse :
  1. Centre : $(3, -1)$.
  2. Axes :
    1. Demi-axe horizontal $a = 4$.
    2. Demi-axe vertical $b = 2$.
  3. Sommets :
    1. Horizontal : $(3 \pm 4, -1) = (-1, -1)$ et $(7, -1)$.
    2. Vertical : $(3, -1 \pm 2) = (3, -3)$ et $(3, 1)$.
$5x^2 + y^2 - 10x + 4y + 4 = 0 \iff \frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y + 2)^2}{5} = 1$
1. Caractéristiques de l'ellipse :
  1. Centre : $(1, -2)$.
  2. Axes :
    1. Demi-axe horizontal $a = 1$.
    2. Demi-axe vertical $b = \sqrt{5}$.
  3. Sommets :
    1. Horizontal : $(1 \pm 1, -2) = (0, -2)$ et $(2, -2)$.
    2. Vertical : $(1, -2 \pm \sqrt{5}) \approx (1, -4.24)$ et $(1, 0.24)$.
$ \begin{aligned}[t] 2x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 6 = 0 &\iff x^2 + 2y^2 - 2x + 4y + 3 = 0 \\ &\iff x^2 - 2x +1 - 1 + 2(y^2 + 2y+1)-2 + 3 = 0 \\ &\iff (x-1)^2+2(y+1)^2=0 \end{aligned}$
1. C'est une ellipse dégénérée puisqu'elle est réduite à un seul point de coordonnée $(1,-1)$
$ 3x^2 + 5y^2 - 12x + 10y + 8 = 0 \iff \frac{(x - 2)^2}{3} + \frac{(y + 1)^2}{\frac{9}{5}} = 1 $
1. Caractéristiques de l'ellipse :
  1. Centre : $(2, -1)$.
  2. Axes :
    1. Demi-axe horizontal $a = \sqrt{3}$.
    2. Demi-axe vertical $b = \sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34$.
  3. Longueur des axes :
    1. La longueur de l'axe horizontal est $2a = 2 \times \sqrt{3} \approx 3.46$.
    2. La longueur de l'axe vertical est $2b = 2 \times \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 2.68$.
  4. Sommets :
    1. Horizontal : $(2 \pm \sqrt{3}, -1) \approx (2 \pm 1.732, -1) = (0.268, -1)$ et $(3.732, -1)$.
    2. Vertical : $(2, -1 \pm \frac{3}{\sqrt{5}}) \approx (2, -1 \pm 1.34) = (2, -2.34)$ et $(2, 0.34)$.
$3x^2 + 5y^2 - 12x + 10y + 24 = 0 \iff 3(x - 2)^2 + 5(y + 1)^2 = -7$
1. Cette équation n'est pas possible car une somme de deux termes positifs ne peut pas être négative. Le lieu des points est l'ensemble vide.

Autres exos sans solution

$2x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 1 = 0 $
$2x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 9 = 0 $
$3x^2 + 5y^2 - 12x + 10y + 17 = 0 $
$4x^2 + 49y^2 - 16x + 294y + 261 = 0 $

Exercice 5 : Soit $a\in\mathbb{R}_0^+$ et $\Gamma\equiv\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y+2)^2}{9}=1$. Rechercher l'équation cartésienne implicite de la tangente à $\Gamma$ en $A=(-2,0)\in\Gamma$.

Solution :

$T\equiv 5x-4y+10=0$

Exercice 6 : Quelle est l'équation cartésienne des tangentes aux ellipses suivantes ?

Solution :

ellipse de droite : $T\equiv x+2\sqrt{3}y-8=0$
ellipse de gauche : $T\equiv 4\sqrt{63}x-27y+144=0$

Exercice 7 : Considérons le point $F(0 ; 0)$, la droite $\Delta : x = -4$ et le réel $e = \dfrac{1}{2}$.

1° Déterminez l’équation focale $(*)$ du lieu $\Gamma$.

2° Montrez que $\Gamma$ est une ellipse, dont vous préciserez le centre (de symétrie) $\Omega$ et les (demi-)axes.

3° Expliquez pourquoi il existe un deuxième foyer $F'$ et une deuxième directrice $\Delta'$ permettant de définir $\Gamma$.

4° Montrez (algébriquement) que la somme des distances d’un point $M \in \Gamma$ à $F$ et $F'$ est indépendante de $M$.

Solution

1° Soit $M(x ; y)$ un point du plan. La distance $MF = \sqrt{x^2 + y^2}$ et la distance de $M$ à $\Delta$ est $|x + 4|$. L’équation focale devient : $$\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{|x + 4|} = \frac{1}{2} \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 + y^2 = \frac{1}{4}(x + 4)^2$$

2° Développons : $$(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \Rightarrow x^2 + y^2 = \frac{1}{4}(x^2 + 8x + 16)$$ On obtient après simplification : $$4(x^2 + y^2) = x^2 + 8x + 16 \Rightarrow 3x^2 - 8x + 4y^2 - 16 = 0$$ C’est une équation réduite d’ellipse. Le centre $\Omega$ est l’intersection des axes de symétrie, ici en $(\frac{4}{3}, 0)$. Les demi-axes peuvent être déterminés par une mise sous forme canonique.

3° L’ellipse admet deux foyers et deux directrices : si $(F, \Delta)$ définit $\Gamma$, alors il existe un point $F'$ symétrique de $F$ par rapport à $\Omega$, et une droite $\Delta'$ symétrique de $\Delta$. On retrouve la définition bifocale classique.

4° Par définition bifocale d’une ellipse, la somme $MF + MF'$ est constante et égale à $2a$ (le grand axe). Cela se démontre en repartant de l’équation cartésienne et des définitions de $F$ et $F'$.

Exercice 8 : Considérons l’ellipse $\Gamma$ d’équation $$3x^2 + 4y^2 - 4x - 4 = 0$$

1° Déterminez l’excentricité $e$, la distance foyer-directrice $m$, la distance centre-directrice, le paramètre $p$ de $\Gamma$.

2° Déterminez les foyers et les directrices de $\Gamma$.

Solution

Exercice 9 : Considérons l’ellipse $\Gamma$ d’équation $$3x^2 + 4y^2 - 18x + 15 = 0$$

1° Déterminez l’excentricité $e$, la distance foyer-directrice $m$, la distance centre-directrice, le paramètre $p$ de $\Gamma$.

2° Déterminez les foyers et les directrices de $\Gamma$.

Solution

Complétons le carré : $$3(x^2 - 6x) + 4y^2 = -15$$ $$3(x^2 - 6x + 9) + 4y^2 = -15 + 27 = 12$$ Donc : $$3(x - 3)^2 + 4y^2 = 12$$ Divisons par 12 : $$\frac{(x - 3)^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$

Demi-grand axe $a = 2$, demi-petit axe $b = \sqrt{3}$, donc $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{4 - 3} = 1$ Excentricité : $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$ Distance centre-directrice : $d = \frac{a}{e} = 4$ Paramètre $p = \frac{b^2}{a} = \frac{3}{2}$ Foyers : $(3 \pm 1 ; 0)$ donc $(2 ; 0)$ et $(4 ; 0)$ Directrices : $x = 3 \pm 4$, soit $x = -1$ et $x = 7$

<WRAP formalbox> Exercice 10 : Sachant que le grand axe d’une ellipse $\mathscr{E}$ mesure 4 cm et que son excentricité vaut $\dfrac{1}{3}$, calculer la distance du centre de $\mathscr{E}$ à une de ses directrices.

Solution

Les données permettent d’écrire (avec les notations usuelles) : $$2a = 4, \quad e = \dfrac{1}{3}$$

La distance centre-directrice est alors : $$\frac{a^2}{c} = \frac{a}{\frac{c}{a}} = \frac{a}{e} = 6$$