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Les coniques
L'ellipse
Définition bifocale -- L'ellipse du jardinier
On peut définir une ellipse comme étant le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes, dits foyers, est constante. Sa construction est simple via la méthode du jardinier.
Soit deux points $F$ et $F'$ du plan et $a$ un réel strictement positif. L'ensemble $\mathbb{E}$ des points du plan $M$ vérifiant \[\mathbb{E} \equiv \overline{MF}+\overline{MF'}=2a\] est une ellipse. Les points $F$ et $F'$ sont appelés les foyers de l'ellipse. La droite $FF'$ est la droite (ou axe) focale.
Equation cartésienne
Soit deux réels $a$ et $c$ vérifiant $0<c<a$. Si $F=(c;0)$ et $F'=(-c;0)$ alors : \(\mathbb{E} \equiv \overline{MF}+\overline{MF'}=2a \iff \mathbb{E} \equiv \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)
Une ellipse est aussi définie par l'équation suivante : $$b^2\ x^2+a^2\ y^2 = a^2\ b^2 \; \text{ avec } a^2=b^2 + c^2$$
Comme $a>b$, $a$ est appelé le demi grand axe, et $b$ le demi petit axe.
Image d’un cercle par une affinité orthogonale
L'ellipse de représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l} x(\theta) = a \cos(\theta)\\ y(\theta) = b \sin(\theta) \\ \end{array}\right. \qquad \theta \in \intf{0}{2\pi }\)
dans un repère cartésien est l'image du cercle de centre $ O$ et de rayon $ a$ par l'affinité orthogonale d'axe $ Ox$ et de rapport $ b/a$. Ce cercle est appelé cercle principal de l'ellipse.
figure
Symétrie / Translation
Si $A\left(x_A;y_A\right)$ est le centre de symétrie de l'ellipse et $d_{FF'} \parallel Ox $ alors \[\mathbb{E} \equiv \frac{(x - x_A)^2}{a^2} + \frac{(y - y_A)^2}{b^2} = 1 \; \text{ ou }\; \mathbb{E} \equiv \left\{\begin{array}{l} x(\theta) = x_A + a \cos(\theta)\\ y(\theta) = y_A + b \sin(\theta) \\ \end{array}\right.\]
Directrice - Foyer
Soit $F$ un point du plan, $\Delta$ une droite ne passant pas par $F$ et un nombre réel $e\in\left]0,1\right[$.% strictement compris entre 0 et 1.
On appelle ellipse de foyer $F$, de directrice $\Delta$ et d'excentricité $e$ l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant : \[\mathbb{E} \equiv \textbf{d}(M;F) = e \cdot \textbf{d}(M;\Delta) \qquad e \in \into{0}{1}\]
Dans un repère orthonormé, si $e=\frac{c}{a}$ et $\Delta \equiv x = \frac{a^2}{c}$ alors : \[\textbf{d}(M;F) = e \cdot \textbf{d}(M;\Delta) \iff \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]
De la géométrie à l'algèbre
Tangente et bissectrice
$\forall M \in \mathbb{E}$, la bissectrice de l'angle ${FMF'}$ est perpendiculaire à la tangente de L'ellipse $\mathbb{E}$ en $M$.
Equation cartésienne de la tangente $T$ à l'ellipse $\mathbb{E}$ en $M\in \mathbb{E}$ : \[T \equiv \dfrac{x_0\cdot x}{a^2}+\dfrac{y_0 \cdot y}{b^2}=1\]
La bissectrice du secteur angulaire formé par les droites reliant un point de l'ellipse aux foyers est perpendiculaire à la tangente en ce point.
Pour déterminer l'équation de la tangente à une ellipse centrée à l'origine, on part de son équation générale et on utilise la différentiation implicite.
On différencie l’équation par rapport à \(x\) : \[\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \right) = \frac{d}{dx} (1)\]
$$ \frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 $$ Ce qui donne : $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2} \frac{x}{y} $$
L’équation d’une tangente en \((x_0, y_0)\) est : $$ y - y_0 = -\frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0} (x - x_0) $$ En simplifiant, on obtient l’équation de la tangente à l’ellipse au point \((x_0, y_0)\) : $$ \frac{x_0\, x}{a^2} + \frac{y_0 \, y}{b^2} = 1 $$
En terme de fonctions
L'hyperbole
Soit deux points \( F \) et \( F' \) du plan, appelés foyers, et soit \( a \) un réel strictement positif. L'hyperbole est l'ensemble des points \( M \) du plan tels que la valeur absolue de la différence des distances de \( M \) à \( F \) et \( F' \) est égale à \( 2a \). \[\mathbb{H} \equiv \big|\overline{MF}-\overline{MF'}\big|=2a\] Remarque : la distance inter-foyers \( FF' \) est strictement supérieure à \( 2a \), c'est-à-dire que les foyers sont suffisamment éloignés pour que cette condition puisse être réalisée.
Equation cartésienne
Soit deux réels $a$ et $c$ vérifiant $0<a<c$. Si $F=(c;0)$ et $F'=(-c;0)$ alors : \[\mathbb{H} \equiv \big|\overline{MF}-\overline{MF'}\big|=2a \iff \mathbb{H} \equiv \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{c^2-a^2}=1 \text{ où } M=(x;y)\in \mathbb{H}\]
Remarque : l'origine des axes est le centre de symétrie de cette conique.
On pose $b\in \R$ tel que $b^2=c^2-a^2$.
L'hyperbole d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ admet deux asymptotes d'équation $y=\frac{b}{a}x$ et $y=-\frac{b}{a}x$
Système d'équations paramétriques
\[\mathbb{H} \equiv\left\{\begin{array}{l} x(\theta) = \dfrac{a}{\cos(\theta)}\\[1em] y(\theta) = b \tan(\theta) \\ \end{array}\right. \qquad \theta \in \into{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} \cup \into{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}} \]
Symétrie / Translation
Lorsque les foyers sont situés sur l'axe des ordonnées, c'est-à-dire $F=(0;c)$ et $F'=(0;-c)$, on a : $${{\mathbb{H}}\equiv \dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1 \; \textrm{ avec } b^2=c^2-a^2}$$
Si $A\left(x_A;y_A\right)$ est le centre de symétrie de l'hyperbole alors \[\mathbb{H} \equiv \frac{(x - x_A)^2}{a^2} - \frac{(y - y_A)^2}{b^2} = 1 \; \text{ ou }\; \mathbb{H} \equiv \left\{\begin{array}{l} x(\theta) = x_A + \dfrac{a}{\cos(\theta)}\\[1em] y(\theta) = y_A + b \tan(\theta) \\ \end{array}\right.\]