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Géométrie analytique dans l'espace
Perpendiculaire commune à deux droites gauches
Pour déterminer la perpendiculaire commune entre deux droites dans l'espace, il faut suivre plusieurs étapes. Voici une méthode générale pour trouver cette perpendiculaire commune :
Étapes pour déterminer la perpendiculaire commune
Soient deux droites données sous forme paramétrique :
$$ d_1 : \begin{cases} x = x_1 + \lambda \ u_1 \\ y = y_1 + \lambda \ u_2 \\ z = z_1 + \lambda \ u_3 \end{cases} \quad \text{et} \quad d_2 : \begin{cases} x = x_2 + \mu \ v_1 \\ y = y_2 + \mu \ v_2 \\ z = z_2 + \mu \ v_3 \end{cases} $$
où $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ est un vecteur directeur de $d_1$ et $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ celui de $d_2$.
- Poser deux points variables :
- $A(\lambda) \in d_1$
- $B(\mu) \in d_2$
- Former le vecteur $\overrightarrow{AB}$.
- Imposer l’orthogonalité : $$ \overrightarrow{AB} \cdot \vec{v}_1 = 0 \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AB} \cdot \vec{v}_2 = 0 $$
- Résoudre ce système linéaire en $\lambda$ et $\mu$ pour déterminer les bons points $A$ et $B$.
- La perpendiculaire commune est la droite passant par $A$ et $B$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$.
Exemple
Étape 1 : Poser deux points variables
On prend un point \( A(\lambda) \in d_1 \) et un point \( B(\mu) \in d_2 \) :
\[ A(\lambda) = (1 + \lambda,\ 2,\ 3 + \lambda), \qquad B(\mu) = (4,\ 5 + \mu,\ 6 + \mu) \]
Étape 2 : Former le vecteur \( \overrightarrow{AB} \)
\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - \lambda,\ 3 + \mu,\ 3 + \mu - \lambda) \]
Étape 3 : Imposer l’orthogonalité à chaque droite
Les vecteurs directeurs des droites sont : \[ \vec{v}_1 = (1,\ 0,\ 1), \quad \vec{v}_2 = (0,\ 1,\ 1) \]
On impose : \[ \overrightarrow{AB} \cdot \vec{v}_1 = 0 \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{AB} \cdot \vec{v}_2 = 0 \]
Ce qui donne : \[ (3 - \lambda)(1) + (3 + \mu)(0) + (3 + \mu - \lambda)(1) = 0 \\ \implies 6 + \mu - 2\lambda = 0 \quad \text{(1)} \]
\[ (3 - \lambda)(0) + (3 + \mu)(1) + (3 + \mu - \lambda)(1) = 0 \\ \implies 6 + 2\mu - \lambda = 0 \quad \text{(2)} \]
Étape 4 : Résolution du système
De (1) : \( \mu = 2\lambda - 6 \)
On remplace dans (2) : \[ 6 + 2(2\lambda - 6) - \lambda = 0 \implies 3\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = 2 \]
Alors : \( \mu = -2 \)
Étape 5 : Déterminer les points
\[ A = (1 + 2,\ 2,\ 3 + 2) = (3,\ 2,\ 5) \\ B = (4,\ 5 - 2,\ 6 - 2) = (4,\ 3,\ 4) \]
\[ \overrightarrow{AB} = (1,\ 1,\ -1) \]
Conclusion : équation de la perpendiculaire commune
La perpendiculaire commune est la droite passant par \( A = (3,\ 2,\ 5) \) et de vecteur directeur \( \overrightarrow{AB} = (1,\ 1,\ -1) \) :
\[ \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 + t \\ z = 5 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \]
Calcul de la distance entre deux droites dans l'espace
Distance entre deux droites non coplanaires
La distance entre deux droites gauches est la plus courte distance séparant deux droites qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. \[ \text{dist}(d_1, d_2) = \|\vec{AB}\| \]
où \( A \in d_1 \) et \( B \in d_2 \) sont les extrémités du segment \( [AB] \) orthogonal aux deux droites.
Exemple
Dans notre exemple :
On avait trouvé :
- \( A = (3,\ 2,\ 5) \)
- \( B = (4,\ 3,\ 4) \)
- \( \overrightarrow{AB} = (1,\ 1,\ -1) \)
Donc : \[ \text{dist}(d_1, d_2) = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3} \]
la distance entre \( d_1 \) et \( d_2 \) est \( \sqrt{3} \).
Exercice
Exercice 1 : Soit \( d_1 \equiv \left\{ \begin{array} { l } x = r + 1 \\ y = - r + 2 \\ z = 2 r - 1 \end{array} \right. \) et \( d_2 \equiv \left\{ \begin{array} { l } x = - s + 1 \\ y = s - 2 \\ z = 2 s \end{array} \right. \)
- Déterminer les points les plus proches de deux droites données.
- Déterminer la perpendiculaire commune entre deux droites données.
- Déterminer la distance entre deux droites données.
Ressources Geogebra
- équation d'une droite dans l'espace
- équations de plans dans l'espace
- équation vectorielle d'un plan dans l'espace