Produit scalaire

Définition :

Le produit scalaire de deux vecteurs

$\overrightarrow{u}$ et

$\overrightarrow{v}$ est défini par :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\theta)$ où

$\theta$ est l'angle entre

$\overrightarrow{u}$ et

$\overrightarrow{v}$ .

Notation : $\theta = (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ est l'angle formé par les deux vecteurs.

Applications

Calcul d'angles entre vecteurs
Détermination de l'orthogonalité

Exemple dans le plan : Soient $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ avec :

$\widehat{BAC} = \frac{\pi}{4}$
$AB = 5$ , $AC = 3\sqrt{2}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \times 3\sqrt{2} \times \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 15$

Si $0^\circ < \theta < 90^\circ$ alors $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} > 0$
Si $90^\circ < \theta < 180^\circ$ alors $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} < 0$
Si $\theta = 90^\circ$ alors $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ ⟺ $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$

En général, le produit scalaire n'a pas de signification géométrique particulière, sauf lorsqu'il s'agit de l'orthogonalité entre deux vecteurs.

dans le plan

Pour

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et

$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x x' + y y'$

On retrouve la formule générale : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\theta)$

Cas dans l’espace : Pour $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

Exemple

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$ Alors

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \iff$ les vecteurs sont orthogonaux.

Calcul d’un angle

Soit

$\overrightarrow{u} = \binom{5}{-2}$ et

$\overrightarrow{v} = \binom{1}{7}$ :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = -9$
$\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{29}$ et $\|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{50}$

Donc : $\cos(\theta) = \dfrac{-9}{5\sqrt{58}} \approx -0.236 \Rightarrow \theta \approx 104^\circ$

Formule pratique

$\theta = \arccos \left( \dfrac{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} }{ \|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\| } \right)$

Propriétés utiles

$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{v}\|^2$
Commutativité : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$
Distributivité : $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$
Linéarité : $(\alpha \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \alpha (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$
Absorption : $\overrightarrow{0} \cdot \overrightarrow{u} = 0$

Remarque préalable : Pour calculer un produit scalaire entre deux vecteurs, il est souvent utile de décomposer ces vecteurs en vecteurs orthogonaux ou colinéaires. On peut alors utiliser la propriété de distributivité du produit scalaire, qui permet d'exprimer le produit scalaire d'une somme de vecteurs comme la somme des produits scalaires deux à deux.

Cela simplifie les calculs sans devoir passer par la formule classique avec les angles.

Exemple : Soient deux vecteurs $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ et $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$ , où $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont orthogonaux.

Calculons le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Comme $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont orthogonaux, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$ .

Donc :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Ce qui s'écrit aussi :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{a}\|^2 - \|\vec{b}\|^2$

Conclusion : Le produit scalaire se réduit ici à la différence des carrés des normes de $\vec{a}$ et $\vec{b}$ .

Exercice 1 : Soit $ABCD$ un carré de côté $a$ . Calculer les produits scalaires : $p_1 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \quad p_2 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}, \quad p_3 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}, \quad p_4 = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DB}.$

Exercice 2 : Soit $A$ et $B$ deux points tels que $AB = a$ . On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$ . Calculer les produits scalaires : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AI}, \quad \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}, \quad \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BJ}.$

Exercice 3 : Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que $AB = AC = 5$ et $BC = 4$ . Soit $I$ le milieu de $[BC]$ . Calculer le produit scalaire : $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}.$

Exercice 4 : Soit $A$ , $B$ , $C$ trois points tels que $AB = 4$ , $AC = 6$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12$ . Déterminer la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ .

Exercice 5 : Soit $ABCD$ un carré de côté $a$ . On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$ . Faire une figure codée en prenant $[AB]$ comme « horizontale », $A$ en bas à gauche, $B$ à droite, $C$ et $D$ au-dessus de $[AB]$ . Montrer que $(AJ) \perp (DI)$ .

Exercice 6 : Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs tels que $\|\overrightarrow{u}\| = 1$ , $\|\overrightarrow{v}\| = 3$ et $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = -2$ . Calculer $\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\|$ .

Exercice 7 : Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs tels que $\|\overrightarrow{u}\| = 5$ , $\|\overrightarrow{v}\| = 4$ et $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2$ . Déterminer $k$ tel que les vecteurs $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ et $2\overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v}$ soient orthogonaux.

On rédigera ainsi : « $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ et $2\overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si … ».

Exercice 8 : Soit $\mathcal{C}$ un cercle de diamètre $[AB]$ , $C$ un point quelconque de $\mathcal{C}$ et $D$ un point quelconque de $[AB]$ . La droite passant par $D$ et perpendiculaire à $[AB]$ coupe $[AC]$ en $E$ . Démontrer que l'on a : $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AC}$ .

\textbf{Indication} : calculer de deux manières différentes le produit scalaire $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AB}$ .

Exercice 9 : Soit $ABCD$ un parallélogramme. On pose $AB = a$ et $AD = b$ . Calculer $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$ en fonction de $a$ et $b$ .

Exercice 10 : Soit $ABCD$ un parallélogramme. Démontrer que l'on a : $AC^2 + BD^2 = 2\left(AB^2 + AD^2\right).$

Exercice 11 : Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a > 0$ . On note $G$ le point défini par l'égalité vectorielle $\overrightarrow{AG} = \frac{3}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AC}.$

Faire une figure en prenant $[AB]$ « horizontale », $A$ à gauche de $B$ , $C$ « au-dessus » de $[AB]$ . Placer alors le point $G$ sur la figure.

Calculer $AG$ en fonction de $a$ sans introduire de nouveaux points.

Produit scalaire

Signe du produit scalaire

Expression dans un repère orthonormé

Exercices