Géométrie synthétique dans le plan

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Les exercices distribués (source EPL - UCL - Exam. d’admission 31/08/20 + 04/07/22) : exos_geometriesynthetique2d.pdf

Solution exercice 1

Exercice 1 : On donne un triangle équilatéral $ABC$ de côté $a$.

Par le milieu $M$ de $[BC]$, on trace une droite qui rencontre $[AB]$ en $R$ et $[AC]$ (demi-droite d’origine $A$) en $S$.

Où faut-il placer le point $R$ pour que la somme des aires des triangles $MRB$ et $MSC$ égale l’aire du triangle $ABC$ ? Prendre comme inconnue $x = |BR|$.

Solution

aire du triangle ABC : $\triangle ABC = \frac12.a.a.\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
$\triangle BRM = \frac12.x.\frac{a}{2}.\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{8}a.x$
$\triangle ARS = \frac12.(a-x).(a+y).\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{4}.(a-x).(a+y)$
on pose $y=|CS|$ : $\triangle MCS = \frac12.\frac{a}{2}.y.\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{8}a.y$

\begin{align*} \triangle MCS &= \triangle ARS - \square ARMC \\ &= \triangle ARS - ( \triangle ABC - \triangle BRM)\\ &= \triangle ARS - \triangle ABC + \triangle BRM\\ \frac{\sqrt{3}}{8}a.y &= \frac{\sqrt{3}}{4}.(a-x).(a+y)-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2+\frac{\sqrt{3}}{8}a.x\\ y&=\frac{ax}{a-2x} \end{align*} Le but recherché est de placer le point $ R $ de sorte que la somme des aires des triangles $ MRB $ et $ MSC $ égale l’aire du triangle $ ABC $. Soit : \[\triangle BRM + \triangle MCS = \triangle ABC\iff \frac{\sqrt{3}}{8}a.x+\frac{\sqrt{3}}{8}a.\frac{ax}{a-2x}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\] à finir !

Géométrie synthétique dans le plan

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