2 - Analyse

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Exercice 1 : Résoudre dans $\mathbb{R}$ : (n'oubliez pas les CE !)

$\left\{\begin{array}{l}\log _{4} y-\log _{2} x-\frac{1}{2}=0 \\y^{2}-2 x y-2 x^{2}-3 y+8 x=0\end{array}\right.$

Solution

Étape 1: De la première équation, nous avons:

\[ \log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} \implies \frac{\log_2 y}{2} = \log_2 x + \frac{1}{2} \]

Ce qui donne : \[y = 2x^2\]

Étape 2: En remplaçant $y$ dans la deuxième équation, nous obtenons:

\[4x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 8x = 0\]

En factorisant par $x$, on a :

\[x(x^3 - x^2 - 2x + 2) = 0\]

La factorisation par regroupement donne:

\[x^3 - x^2 - 2x + 2 = x^2(x - 1) - 2(x - 1) = (x^2 - 2)(x - 1)\]

D'où les solutions pour $x$:

\[x = 0, 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\]

En substituant chaque valeur de $x$ dans $y = 2x^2$, nous obtenons:

\[ \begin{aligned} x = 0 &\implies y = 0, \\ x = 1 &\implies y = 2, \\ x = \sqrt{2} &\implies y = 4, \\ x = -\sqrt{2} &\implies y = 4. \end{aligned} \]

Conditions d'existence (CE): Pour que les logarithmes existent, il faut que $y > 0$ et $x > 0$. Ainsi, les solutions qui satisfont ces conditions sont $x = 1$ avec $y = 2$ et $x = \sqrt{2}$ avec $y = 4$.

Exercice 2 : Soit \[J(p) = \int_1^{\mathrm{e}^p} x^{-1} \cdot \lceil \ln x\rceil \mathrm{d}x\]

Calculer :

$J(1)$ et $J(2)$
$J(p)$ en fonction de $p$ pour $p\geq 1$

Définition

La fonction plafond, notée $\lceil x \rceil$, signifie que pour n'importe quel nombre $x$, donne l'entier le plus petit qui soit supérieur ou égal à $x$.

Par exemple :

Si $x = 3.2$, l'entier juste au-dessus est $4$, donc $\lceil 3.2 \rceil = 4$.
Si $x = 5$, il est déjà un entier, donc $\lceil 5 \rceil = 5$.
Si $x = -1.7$, l'entier juste au-dessus est $-1$, donc $\lceil -1.7 \rceil = -1$.

En résumé, la fonction plafond arrondit toujours un nombre à l'entier supérieur le plus proche.

Solution