3 - Géométrie

Exercice 1 : Soit un carré à l’intérieur duquel on trace un carré d’aire 4 cm² dont les sommets sont les milieux des côtés du carré extérieur. Quelle est l’aire de ce carré ?

Solution

Le carré intérieur est formé en reliant les milieux des côtés du carré extérieur. Il est inscrit en rotation de 45°, ses diagonales correspondent aux côtés du carré extérieur de longueur $ a $. L’aire du carré intérieur vaut :

\[ \frac{1}{2} \cdot a^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 8 \]

Donc l’aire du carré extérieur est :

\[ \boxed{8 \ \text{cm}^2} \]

Exercice 2 : La roue lisse R1 (rayon 30) entraîne R2 (rayon 5), qui est solidaire de R3 (rayon 15). R3 entraîne R4 (rayon 5), qui entraîne R5 (rayon 10). Combien de tours fait R5 quand R1 fait 1 tour ? Quel est son sens de rotation ?

Solution

Principe : Pour des roues lisses :

Deux roues en contact tournent en sens opposé ;
Le nombre de tours est inversement proportionnel au rayon ;
Deux roues solidaires tournent dans le même sens avec le même nombre de tours.

$$ \frac{N_1}{N_2} = \frac{R_2}{R_1} \quad \text{ou} \quad N_2 = \frac{R_1}{R_2} \cdot N_1 $$

Étapes :

$ N_2 = \frac{30}{5} \cdot 1 = 6 $ (opposé à R1)
R2 et R3 sont solidaires → $ N_3 = 6 $ (même sens que R2)
$ N_4 = \frac{15}{5} \cdot 6 = 18 $ (opposé à R3 → même que R1)
$ N_5 = \frac{5}{10} \cdot 18 = 9 $ (opposé à R4 → opposé à R1)

Conclusion : Quand R1 fait 1 tour, R5 fait $ \boxed{9} $ tours dans le sens opposé à R1.

Exercice 3 : (géométrie synthétique plane - ULB - septembre 2018) On considère un parallélogramme de sommets consécutifs $ PQRS $ tel que le point d’intersection $ T $ des bissectrices des angles $ \widehat{PQR} $ et $ \widehat{QRS} $ appartient au segment $ [PS] $. Sachant que $ QT = a $ et $ RT = b $, calculez l’aire du parallélogramme.

Solution

Le triangle $ QTR $ est rectangle en $ T $.

En effet : \[ \widehat{PQR} + \widehat{QRS} = 180^\circ \Rightarrow \frac{1}{2}\widehat{PQR} + \frac{1}{2}\widehat{QRS} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{Q_1} + \widehat{R_1} = 90^\circ = \widehat{T}. \]

Par Pythagore : \[ |QR| = \sqrt{a^2 + b^2}. \] De même si $ |TH| = h $, $ h $ est la hauteur du parallélogramme :

Dans $ \triangle QHT $ : \[ |QH|^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow |QH| = \sqrt{a^2 - h^2} \]

Dans $ \triangle THR $ : \[ |HR|^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow |HR| = \sqrt{b^2 - h^2} \]

Or dans un triangle rectangle, la hauteur relative à l’hypoténuse est moyenne proportionnelle entre les segments qu’elle détermine sur cette hypoténuse : \[ h^2 = |QH| \cdot |HR| = \sqrt{a^2 - h^2} \cdot \sqrt{b^2 - h^2} \]

Élevons au carré : \[ h^4 = a^2b^2 - h^2a^2 - h^2b^2 + h^4 \Rightarrow 0 = -h^2(a^2 + b^2) + a^2b^2 \]

\[ \Rightarrow h^2 = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2} \Rightarrow h = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

L’aire du parallélogramme est alors : \[ A = |QR| \cdot h = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \boxed{ab} \]

Exercice 4 : (géométrie synthétique plane - ULB - septembre 2019) Si le périmètre d’un triangle rectangle vaut $ p $, et la somme des carrés de ses trois côtés vaut $ 2q^2 $, où $ p $ et $ q $ sont deux paramètres réels positifs, déterminez la longueur de la hauteur issue de l’angle droit en fonction de $ p $ et $ q $.

Solution

Soit un triangle rectangle de côtés $ a $, $ b $ et $ c $, avec $ c $ l'hypoténuse.

On a :

$ a^2 + b^2 = c^2 $ (théorème de Pythagore)
périmètre : $ a + b + c = p $
somme des carrés : $ a^2 + b^2 + c^2 = 2q^2 $

Or, on sait que : \[ a^2 + b^2 = c^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 + c^2 = 2c^2 \]

Donc : \[ 2c^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad c = q \]

Donc l’hypoténuse $ c = q $, et $ a + b = p - q $

On cherche la hauteur issue de l’angle droit, notée $ h $. Dans un triangle rectangle, cette hauteur est donnée par : \[ h = \frac{ab}{c} \]

Utilisons l’identité : \[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab \Rightarrow ab = \frac{(a + b)^2 - c^2}{2} \]

Or : \[ a + b = p - q \quad \text{et} \quad c = q \]

Donc : \[ ab = \frac{(p - q)^2 - q^2}{2} = \frac{p^2 - 2pq + q^2 - q^2}{2} = \frac{p^2 - 2pq}{2} \]

Finalement : \[ h = \frac{ab}{c} = \frac{p^2 - 2pq}{2q} \]

Conclusion : la hauteur issue de l’angle droit est : \[ \boxed{h = \frac{p^2 - 2pq}{2q}} \]

Exercice 1 : (EPL, UCL, LLN, septembre 2012.) Soit le cercle $\mathcal{C}$ d’équation cartésienne $x^2+y^2=1$. Soit le point P de coordonnées (x,y)=(0,2). L’on considère toutes les droites passant par P et coupant C en deux points. Quel est le lieu du milieu de la corde délimitée par ces deux points ? Donnez-en l’équation cartésienne et déterminez-en les caractéristiques principales. ucl_ga_septembre_2012.pdf

Solution

Soit $d_m \equiv y=mx+2$ la famille de droites passant par P~. On recherche le lieu des points $M$ déterminés par l'intersection de $d_m$ avec $\mathcal{C}$ : $$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ y=mx+2 \end{cases}$$ On obtient une équation du second degré : $\left(1+m^2\right)x^2+4mx+3=0$

Le réalisant est $\rho = 4m^2-12$ et il doit être positif ou nul pour obtenir deux points d'intersection. $$m^2-3\geq0 \iff m \in ]-\infty,-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3},+\infty[$$

L'abscisse et l'ordonnée du point milieu d'un segment sont obtenus (resp.) en divisant par deux la somme des abscisses et la somme des ordonnées des extrémités de celui-ci. Or, la somme des abscisses correspond précisément à la somme des racines d'une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$. Comme celle-ci vaut $-\frac{b}{2a}$, l'abscisse du point milieu vaut : $$x_M = -\frac{4m/(1+m^2)}{2} = -\frac{2m}{1+m^2}$$ En outre, $y_M = m\cdot x_M + 2$, d'où $$y_M=\frac{2}{1+m^2}$$

Le lieu recherché est : $$\mathcal{L} \equiv \Bigg\{\left(-\frac{2m}{1+m^2};\frac{2}{1+m^2}\right) \in \mathbb{R}^2 \; \Bigg| \; m \in ]-\infty,-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3},+\infty[\Bigg\}$$

Ce lieu est une portion de cercle de centre (0,1) et de rayon 1 ($\mathcal{C} \equiv x^2+\left(y-1\right)^2=1$). En effet, \begin{align*} & \left(-\frac{2m}{1+m^2}\right)^2+\left(\frac{2}{1+m^2}-1\right)^2=1 \qquad \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\\ \iff & \frac{4m^2}{\left(1+m^2\right)^2}+\frac{\left(1-m^2\right)^2}{\left(1+m^2\right)^2}=1\\ \iff & \frac{4m^2+\left(1-m^2\right)^2}{\left(1+m^2\right)^2}=1\\ \iff & \frac{m^4+2m^2+1}{\left(1+m^2\right)^2}=1\\ \iff & \frac{\left(m^2+1\right)^2}{\left(1+m^2\right)^2}=1 \end{align*}