4 - Trigonométrie

Exercice 1 : EPL, UCL, LLN, juillet 2019.

Soit un triangle ABC rectangle en C.

Calculez une expression littérale qui donne le rayon r du cercle inscrit du triangle ABC en fonction des longueurs $a$ , $b$ , $c$ de ses trois côtés.
Si l'angle $\beta$ de ce triangle vaut $17^\circ$ et si le rayon de son cercle inscrit vaut $8,3$ cm, calculez $a$ , $b$ et $c$ avec une précision d'un millimètre.

Méthode : Tracez un tel triangle rectangle ainsi que son cercle inscrit. À partir du centre du cercle, tracez les rayons perpendiculaires à leurs côtés respectifs. Indiquez les données du problème et poursuivez le raisonnement.

Solution

$c = (a-r) + (b-r) \Longrightarrow r = \frac{a+b-c}{2}$
$\left\{\begin{array}{l}{\sin 17^{\circ}=\frac{b}{c}} \\ {\cos 17^{\circ}=\frac{a}{c}} \\ {r=\dfrac{a+b-c}{2}=8.3}\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}{b=c \sin 17^{\circ}} \\ {a=c \cdot\cos 17^{\circ}} \\ {\dfrac{c\cdot \cos 17^{\circ}+c\cdot \sin 17^{\circ}-c}{2}=8.3} \qquad \Par{r=\frac{a+b-c}{2}=8.3}\end{array}\right.\right.$

$\Longrightarrow c=\dfrac{8,3 \times 2}{\sin 17^{\circ}+\cos 17^{\circ}-1}=66,8 \mathrm{cm} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=63.8 \mathrm{cm}} \\ {b=19,5 \mathrm{cm}}\end{array}\right.$

Exercice 2 : POLYTECH, UMons, Mons, juillet 2019.

Résoudre $4(\sin x+\cos x)-8 \sin x \cos x=5$ dans $\mathbb{R}$ . Pour résoudre cet exercice, il est suggéré de poser $y=\sin x+\cos x$ .

Note : Les solutions trouvées ne sont pas exprimables sous forme d'angles remarquables.

Solution

On pose $y=\sin x+\cos x \Longrightarrow y^{2}=1+2 \sin x \cos x$

dès lors, $8 \sin x \cos x = 4\left(y^{2}-1\right)$

L'énoncé devient $4 y-4 y^{2}+4-5=0 \Longrightarrow 4 y^{2}-4 y+1=0 \Longrightarrow(2 y-1)^{2}=0 \Longrightarrow y=\frac{1}{2}$

d'où $\begin{aligned}[t] \sin x+\cos x=\tfrac{1}{2} &\iff \sqrt{2}\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2} \sin x+\tfrac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right)=\tfrac{1}{2}\\ &\iff \cos \left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{1}{2 \sqrt{2}}=\tfrac{\sqrt{2}}{4} \iff x=\tfrac{\pi}{4} \pm \arccos \tfrac{\sqrt{2}}{4}+2 k \pi \end{aligned}$

Autre méthode : si $y=1/2$ alors l'équation de devient $2-8\sin x \cos x = 5$
ou encore $2\sin x \cos x = -3/4$ . Puisque $\sin \left(2x \right) = 2\sin x \cos x$ , il suffit de résoudre l'équation trigonométrique de base $\sin \left(2x\right) = -3/4$ . $\begin{aligned}[t] \sin \left(2x\right) = -3/4 &\iff 2x = \begin{cases} \arcsin\left(-3/4\right)+2k\pi\\ \pi-\arcsin\left(-3/4\right)+2k\pi \end{cases}\\ &\iff x=\begin{cases} -\tfrac12\arcsin\tfrac34+k\pi\\ \tfrac{\pi}{2}+\tfrac12\arcsin\tfrac34+k\pi \end{cases} \end{aligned}$

Exercice 3 : EPL, UCL, LLN, juillet 2017.

Lorsque l'élévation du soleil au-dessus de l'horizon est de 60^\circ , l'ombre d'une tour sur sol plat est longue de 80 m. Au départ de cette situation, de combien de degrés l'élévation du soleil doit-elle varier pour que la longueur de l'ombre devienne égale à 240 m ?

$+45^\circ$
$+30^\circ$
$+15^\circ$
$-15^\circ$
$-30^\circ$

Solution

$240 \cdot \tan \left(60 + \alpha\right) = 80 \cdot \tan 60 \iff \tan \alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \iff \alpha = -30 ^\circ{}$

Exercice 4 : EPL, UCL, LLN, juillet 2018.

Une observatrice O attablée a la terrasse du Café de Paris sur les quais de la Seine voit deux gargouilles A et B sur le toit de la cathédrale Notre-Dame de Paris sous un angle $\widehat{B O A}$ égal a $8,105^\circ$ (elle dispose d'un instrument vraiment précis).

Calculez la hauteur h de la tour de la cathédrale sachant que la distance AB est de 30m et que l'observatrice O a mis exactement deux minutes à la vitesse de 3 km/h pour parcourir la distance CO.

Note : aucune tour d'église ne dépasse 100m à Paris.

Solution

$\Delta B D O: h=\overline{D O} \cdot \tan (\alpha+\beta)=\overline{D O} \cdot \frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$

et $\triangle A E O: h=\overline{E O} \cdot \tan \beta \Longrightarrow \tan \beta=\frac{h}{E O}$

d'où : $h=69,01$ m

Exercice 5 : L'expression $\sin 7a - \sin 5a - 2 \sin 5a \sin 2a$ est identiquement égale à :

$2\cos a \sin 4a$
$\cos 4a$
$-2 \cos 6a \sin 2a$
$-2\cos 4a \cos \left(\frac{\pi}{2}-a\right)$
$1$

Solution

$\begin{aligned}[t] \sin 7 a-\sin 5 a-2 \cos 5 a \sin 2 a &=2 \sin a \cos 6 a-4 \cos 5 a \sin a \cos a \\ &=2 \sin a(\cos 6 a-2 \cos 5 a \cos a) \\ &=2 \sin a(\cos 6 a-(\cos 6 a+\cos 4 a)) \\ &=-2 \sin a \cos 4 a \\ &=-2\cos 4a \cos \left(\tfrac{\pi}{2}-a\right) \end{aligned}$