Par convention, on définit : $$\bbox[pink,5px] {0! = 1}$$

Cependant, ce résultat peut être démontré en utilisant la relation récurrente de la factorielle : $$n! = n \times (n-1)! \quad \text{pour } n \geq 1.$$

En appliquant cette relation pour $n = 1$ : $$1! = 1 \times (1-1)! = 1 \times 0!$$

Cela implique : $$1 = 1 \times 0! \quad \implies \quad 0! = 1.$$

Ainsi, la valeur $0! = 1$ est cohérente avec la définition récurrente de la factorielle.

Remarque : dans une situation où aucun élément n'est choisi ($p = 0$), on a : $$\binom{n}{0} = \frac{n!}{0! \cdot (n-0)!} = \frac{n!}{1 \cdot n!} = 1,$$ ce qui correspond intuitivement à une seule façon de ne rien choisir.

Proposition : Pour tout $n$, $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n.$$

Propriété : Relation de Pascal Pour $n$ et $p$ tels que $p \leq n$, $$\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}.$$

À partir de cette propriété, on déduit le triangle de Pascal, qui regroupe les valeurs de $\binom{n}{p}$ pour différents $n$ et $p$.

Notions de base

• Principes de comptage fondamentaux :
  • *Règle du produit* : multiplication des possibilités pour des choix successifs.
  • *Règle de la somme* : addition des possibilités pour des choix alternatifs.
• Principe d'inclusion-exclusion : comptage des éléments dans des ensembles qui se chevauchent.

Arrangements et permutations

• Arrangements sans répétition : Ordre important, éléments distincts

$$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$$

• Arrangements avec répétition : Chaque élément peut être choisi plusieurs fois

$$n^p$$

• Permutations : Arrangements de $n$ éléments sans condition particulière

$$n!$$

• Permutations avec répétition : Cas où certains éléments se répètent

$$\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$$

Combinaisons

• Combinaisons sans répétition : Choix de $p$ éléments parmi $n$, ordre non important

$$C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$

• Combinaisons avec répétition : Distribution de $p$ objets dans $n$ catégories

$$\binom{n+p-1}{p}$$

Propriétés avancées

• Identités combinatoires :
  • Symétrie des coefficients binomiaux : $$\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$$
  • Relation de Pascal : $$\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p} + \binom{n-1}{p-1}$$

• Triangle de Pascal et applications : calcul de coefficients binomiaux.
• Formules de récurrence : développement de calculs combinatoires avec itérations.

Exercices typiques

• Combien de façons de distribuer $n$ cadeaux à $p$ enfants ?
• Combien d'anagrammes d'un mot donné ?
• Combien de combinaisons possibles pour former une équipe de $k$ personnes parmi $n$ ?
• Nombre de chemins dans un quadrillage $m \times n$ en allant du coin inférieur gauche au coin supérieur droit.

Si l'on effectue $p$ tirages successifs avec remise, il y a $n^p$ issues différentes possibles.

Si l'on effectue $p$ tirages successifs sans remise, il y a $A_n^p$ issues différentes possibles si l'on tient compte de l'ordre de sortie, et $C_n^p$ issues différentes possibles si l'on ne tient pas compte de cet ordre.

On se ramène au cas des tirages sans remise. On peut, au choix, considérer ou non que l'ordre a de l'importance, le tout étant de rester cohérent d'un bout à l'autre de l'exercice : si l'on dénombre l'univers des possibles en tenant compte de l'ordre, il faut tenir compte de l'ordre jusqu'à la fin de l'exercice ! Moyennant cette précaution élémentaire, les deux méthodes (ordre ou non) donneront les mêmes résultats en termes de probabilité.