Loi normale

Pourquoi une nouvelle loi ?

• Nous avons vu la loi binomiale qui est adaptée à des variables discrètes (succès/échecs).
• Mais certains phénomènes réels sont continus.
• Ils suivent une distribution en forme de cloche symétrique

On l'appelle souvent distribution gaussienne, en l'honneur de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), un éminent mathématicien allemand qui a apporté d'importantes contributions à une meilleure compréhension de la distribution normale.

La courbe de cette distribution est appelée “courbe en cloche” parce que le graphique de sa fonction de densité de probabilité ressemble à la forme d'une cloche.

• Beaucoup de phénomènes aléatoires se regroupent autour d'une valeur centrale.
• Plus on s'éloigne de cette valeur, plus les cas deviennent rares.
• C'est la forme typique d'une courbe normale.

Une variable aléatoire suit une loi normale lorsque sa distribution est continue, symétrique et a la forme caractéristique d'une cloche.

Cette loi est entièrement déterminée par deux paramètres :

1. la moyenne $\mu$, qui représente le centre de la distribution ;
2. l’écart-type $\sigma$, qui mesure l’étalement ou la dispersion des valeurs autour de $\mu$.

La moyenne $\mu$ est donc la valeur autour de laquelle les données sont centrées. Plus l’écart-type $\sigma$ est grand, plus la courbe est aplatie et étalée ; à l’inverse, un $\sigma$ plus petit rend la courbe plus resserrée autour de $\mu$.

Une propriété remarquable de la loi normale est que environ 68 % des valeurs d’une variable suivant cette loi se trouvent entre $\mu - \sigma$ et $\mu + \sigma$.

• Cette probabilité s'interprète comme une aire sous une courbe.
• La courbe correspond à une fonction de densité, notée $f$, continue, positive et dont l'aire totale sur $\mathbb{R}$ est égale à 1.

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ (avec $\sigma > 0$ ) si sa fonction de densité de probabilité est donnée par :

$$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}. $$

On dit que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, et on note :

$$ X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma) \quad \text{(avec $\sigma$ : écart-type).} $$ Attention : la notation formelle rigoureuse est $X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \quad \text{(avec $\sigma^2$ : variance).}$

Mais je trouve plus clair et plus “pédagogique” d'utiliser la notation qui inclut l'écart-type (\(\sigma\)) plutôt que la variance (\(\sigma^2\)). En effet, l'écart-type est plus intuitif à comprendre et à interpréter, car il est exprimé dans les mêmes unités que les données originales.

Note : Pour une variable aléatoire continue, la fonction de distribution est souvent appelée fonction de densité de probabilité. Elle décrit la probabilité relative qu'une variable aléatoire prenne une valeur donnée.

La densité est symétrique et très concentrée autour de la moyenne (indiquée par la ligne verticale). Elle devient très petite en se déplaçant du centre vers la gauche ou vers la droite de la distribution. Cela signifie que plus une valeur est éloignée du centre de la distribution, moins il est probable d'observer cette valeur.

La fonction de répartition d'une variable aléatoire \( X \) donne la probabilité que \( X \) soit inférieure ou égale à une certaine valeur. Elle est définie pour tout nombre réel \( x \).

Remarques :

1. On note : $\Pi(t) = P(X \leq t)$
2. $P(X \leq t) = P(X < t)$, car la loi normale est continue.

Exemples issus des graphiques :

• $P(X \leq 176) = 0,8413$ $$P(X \leqslant 176) = \int_{-\infty}^{176} \frac{1}{6 \sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{(x - 176)^2}{72}} \,\mathrm{d}x$$
• $P(X > 176) = 0,1587$ $$P(X > 176) = 1 - P(X \leq 176) = 1 - 0,8413 = 0,1587$$

La fonction de Gauss est intégrable mais il est impossible de trouver une primitive de celle-ci au moyen des fonctions usuelles. Nous avons donc recours à une table de valeurs d'intégrales définies spécifiques calculées par des méthodes de calcul numérique approché.

Une variable aléatoire $Z$ suit une loi normale centrée réduite si elle suit une loi normale de moyenne $0$ et d'écart-type $1$. Sa densité de probabilité est alors :

$$ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{2}}, \quad \text{pour tout } z \in \mathbb{R}. $$

On note :

$$ Z \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1) $$

Cette loi est utilisée pour standardiser une variable aléatoire normale :

$$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $$

où $X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma)$.

Ainsi, $Z$ suit toujours une loi normale centrée réduite, quelle que soit la loi normale d’origine.

Objectif : Trouver $P(X \leq 2)$ pour une variable aléatoire $X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1)$

On utilise ici la table de la loi normale centrée réduite, qui donne directement les probabilités $P(Z \leq z)$ pour des valeurs de $z$ positives ou nulles.

Fichier PDF de la table

Dans cet exemple :

$$ P(X \leq 2,00) = 0,9772 $$

Cela signifie que la probabilité que $X$ prenne une valeur inférieure ou égale à 2 est d’environ 97,72 %. Graphiquement, cela correspond à l’aire sous la courbe à gauche de $z = 2$.

La table s'organise de manière à faciliter la lecture des probabilités pour une précision au centième :

• La première colonne donne la partie entière et la première décimale de $z$ ;
• La première ligne donne la deuxième décimale ;
• L’intersection de la ligne et de la colonne donne la valeur de $P(Z \leq z)$.

Dans notre exemple :

• $z = 2,00$ : on repère la ligne 2,0 (pour la partie entière et le premier chiffre après la virgule),
• puis on va à la colonne 0,00 (deuxième chiffre),
• ce qui donne la valeur : 0,9772.

• La table donne toujours $P(Z \leq z)$.
• Pour calculer des probabilités du type $P(Z > z)$, on utilise :

$$P(Z > z) = 1 - P(Z \leq z)$$

• Pour des valeurs négatives de $z$, on utilise la symétrie de la courbe :

$$P(Z \leq -z) = 1 - P(Z \leq z)$$

Vous pouvez donc utiliser une seule moitié de la table (valeurs positives) pour répondre à toutes les questions, en combinant avec ces propriétés.

Par symétrie de la courbe (moyenne $0$), on sait que $$P(X \leq 0) = 0,5000$$ pour obtenir la probabilité entre 0 et 2, on fait la différence :

$$ P(0 \leq X \leq 2) = P(X \leq 2) - P(X \leq 0) $$

$$ P(0 \leq X \leq 2) = 0,9772 - 0,5000 = 0,4772 $$

Cette valeur correspond à l’aire bleue visible sur le graphique ci-dessus

Si $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart-type $\sigma$, alors :

• $X - \mu$ suit une loi normale centrée de moyenne $0$ et d’écart-type $\sigma$ ;
• La variable $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$.

• La loi normale est aussi appelée loi de Gauss, en hommage au mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777–1855).
• Sa courbe de densité est connue sous le nom de courbe en cloche, en raison de sa forme caractéristique.

• La loi normale modélise des phénomènes continus symétriques autour d'une moyenne.
• Elle est définie par deux paramètres :
  • moyenne $\mu$
  • écart-type $\sigma$
• La loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ est utilisée pour les calculs.