Différences

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--- pesam:5eme_renf_math:methodes_numeriques [2025/04/05 15:19] – [Estimer la racine carrée d'un nombre positif] Frédéric Lancereau
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 ===== Estimer la racine carrée d'un nombre positif =====
-Héron d'Alexandrie n'avait pas attendu Newton et le calcul différentiel pour trouver une méthode permettant de déterminer une approximation de la racine carrée d'un nombre positif puisqu'il a vécu seize siècles avant Sir Isaac. Voici comment fonctionne cette méthode :
+Héron d'Alexandrie a développé une méthode ingénieuse pour estimer la racine carrée d'un nombre positif \( a \), bien avant l'époque de Newton et du calcul différentiel. Cette technique repose sur un principe géométrique simple : déterminer un carré dont l'aire est égale à \( a \).
+Pour ce faire, un rectangle est considéré avec un côté de longueur \( x \) et l'autre de longueur \( \frac{a}{x} \). L'aire de ce rectangle est \( x \times \frac{a}{x} = a \).
+La méthode de Héron consiste à transformer ce rectangle en un carré tout en conservant son aire. À chaque étape, la moyenne arithmétique des deux côtés du rectangle est calculée pour obtenir une nouvelle longueur :
+\[
+x_{\text{nouveau}} = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right)
+\]
+Cette nouvelle longueur est une meilleure approximation de la racine carrée de \( a \) que les valeurs initiales. En répétant ce processus, le rectangle se rapproche progressivement d'un carré parfait, dont les côtés sont égaux à \( \sqrt{a} \).
+La beauté de cette méthode réside dans sa convergence rapide. Chaque itération améliore l'approximation, rendant le processus simple et efficace. En quelques étapes seulement, une valeur très proche de la racine carrée exacte de \( a \) est obtenue.
+<box 100% red | **Mise en oeuvre de cette méthode** :>
   * Choisir une estimation initiale $u_0$ de la racine carrée du nombre $a$. Cette estimation doit être positive.
   * Utiliser la formule de récurrence suivante pour affiner l'estimation : \[  u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{a}{u_n} \right)    \] Ici, \( u_n \) est l'estimation actuelle de la racine carrée, et \( u_{n+1} \) est la nouvelle estimation.
   * Répéter le processus itératif jusqu'à ce que la différence entre \( u_n \) et \( u_{n+1} \) soit inférieure à une tolérance prédéfinie, ou jusqu'à ce que le nombre souhaité de décimales soit atteint.
+</box>
 **Approximation par Défaut et par Excès :**
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   * Inversement, si \( x_n \) est une approximation par excès, alors \(\frac{a}{x_n}\) est une approximation par défaut.
   * **Moyenne Arithmétique :** la moyenne arithmétique de ces deux approximations, donnée par la formule :     \(     u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{a}{u_n} \right)     \)     fournit une meilleure approximation de \(\sqrt{a}\) que les deux précédentes.
-La méthode de Héron repose sur le fait que la moyenne arithmétique d'une approximation par défaut et d'une approximation par excès converge vers la valeur réelle de la racine carrée. Cette approche itérative est simple à mettre en œuvre et converge rapidement, ce qui en fait un outil puissant pour les calculs numériques.
 ==== Application à $\sqrt{2}$ ====