Inversion matricielle

Sujet à modifications

Ce critère permet de déterminer si l'inversion de \( A \) est possible. Nous allons calculer le déterminant ; s'il est différent de zéro, nous pourrons inverser \( A \). Dans le cas contraire, nous conclurons que \( A \) n'est pas inversible.

L'objectif de cette méthode est de partir d'une matrice donnée \( A \) et d'utiliser des opérations élémentaires pour la transformer en matrice identité. En même temps, on part de la matrice identité et on applique les mêmes opérations pour obtenir la matrice inverse \( A^{-1} \).

Exemple : Calcul de l'inverse de la matrice (il faut vérifier que det A $\neq 0$) \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right) \] Le premier pivot est $a_{11}=1$. On va remplacer la deuxième ligne par la deuxième moins 2 fois la première et la troisième ligne par la troisième moins la première.

\[ \begin{array}{lll} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow L_{1}\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}-2L_{1}\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}-L_{1}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \end{array} \] On effectue la même opération sur la matrice identité. \[ \begin{array}{lll} \left( \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow L_{1}\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}-2L_{1}\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}-L_{1}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} \] On réduit la deuxième colonne et on procède de même sur la matrice issue de l'identité : \[ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow 5L_{1}+2L_{2}\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}\rightarrow \\ \leftarrow 5L_{3}+L_{2}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} -5 & 0 & -2 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & 11 \end{array} \right) \\ & & \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow 5L_{1}+2L_{2}\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}\rightarrow \\ \leftarrow 5L_{3}+L_{2}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 5 \end{array} \right) \end{array} \] On réitère sur la troisième colonne : \[ \begin{array}{lll} \left( \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 2 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & 11 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow 11L_{1}-2L_{3}\rightarrow \\ \leftarrow 11L_{2}-L_{3}\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 55 & 0 & 0 \\ 0 & -55 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{array} \right) \\ & & \\ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 5 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow 11L_{1}-2L_{3}\rightarrow \\ \leftarrow 11L_{2}-L_{3}\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 25 & 20 & -10 \\ -15 & 10 & -5 \\ -7 & 1 & 5 \end{array} \right) \end{array} \] Le déterminant $\Delta =(55)\times (-55)\times 11\neq 0$. La matrice est donc inversible (on peut le vérifier en calculant le déterminant de A). On divise chaque ligne par le coefficient de la diagonale : \[ \begin{array}{lll} \left( \begin{array}{ccc} 55 & 0 & 0 \\ 0 & -55 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow L_{1}/55\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}/(-55)\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}/11\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ & & \\ \left( \begin{array}{ccc} 25 & 20 & -10 \\ -15 & 10 & -5 \\ -7 & 1 & 5 \end{array} \right) & \begin{array}{l} \leftarrow L_{1}/55\rightarrow \\ \leftarrow L_{2}/(-55)\rightarrow \\ \leftarrow L_{3}/11\rightarrow \end{array} & \left( \begin{array}{ccc} 5/11 & 4/11 & -2/11 \\ 3/11 & -2/11 & 1/11 \\ -7/11 & 1/11 & 5/11 \end{array} \right) \end{array} \] Ainsi \[ A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 5/11 & 4/11 & -2/11 \\ 3/11 & -2/11 & 1/11 \\ -7/11 & 1/11 & 5/11 \end{array} \right) \] et on vérifie bien que \[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc} 5/11 & 4/11 & -2/11 \\ 3/11 & -2/11 & 1/11 \\ -7/11 & 1/11 & 5/11 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) . \] \[ \]

La méthode des matrices élémentaires, également connue sous le nom de méthode de la matrice compagnon, peut être présenté de la manière suivante :

On commence par écrire la matrice à inverser, que l'on appelle \( A \), à gauche, et la matrice identité \( B = I \) à droite. Par exemple, si \( A \) est une matrice \( n \times n \), \( B \) sera également une matrice \( n \times n \) avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.

\[ \begin{pmatrix} A & | & I \end{pmatrix} \]

On applique trois types d'opérations élémentaires sur les lignes de la matrice :

1. Échange de deux lignes : Cela permet de modifier l'ordre des lignes.
2. Multiplication d'une ligne par un scalaire non nul : On peut multiplier une ligne par un nombre, ce qui change les valeurs de cette ligne.
3. Ajout d'un multiple d'une ligne à une autre : On peut ajouter ou soustraire un multiple d'une ligne à une autre, ce qui modifie les valeurs de la ligne cible.

On applique ces opérations à la matrice \( A \) avec l'objectif de la transformer progressivement en matrice identité. Pendant ce temps, on effectue les mêmes opérations sur la matrice \( B \).

Il faut continuer d'appliquer ces opérations jusqu'à ce que la matrice \( A \) soit complètement transformée en matrice identité. Lorsque cela se produit, la matrice \( B \) contiendra alors l'inverse de \( A \).

Exemple : Calcul de l'inverse de la matrice $A = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$

$$ \begin{array}{ll} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2\,\, & 2\,\, & 3\,\,& 1\,\, & 0\,\, & 0\,\,\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2 - \dfrac{1}{2} \, L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 - \dfrac{1}{2}L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2\,\, & 2\,\, & 3\,\, & 1\,\, & 0\,\, & 0\,\, \\ 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 1 & 0\\ 0 & 0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \rightarrow \dfrac{1}{2} L_1\\ L_2 \rightarrow - L_2 \\ L_3 \rightarrow -2 L_3 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1\,\, & 1\,\, & \dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} & 0\,\, & 0\,\, \\ 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array} \right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \rightarrow L_1 - L_2 - L_3 \\ L_2 \rightarrow L_2 - \dfrac{1}{2} L_3 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1\,\, & 0\,\, & 0 & -1\,\, & 1\,\, & 2\,\, \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right) \end{array} $$

Source : https://www.auto-math.be/public/0/module/16/theorie/67