$$\begin{aligned}[t] \left\{\begin{array}{rrrrrr} x&+&y&+&z&=1\\ &&2y&+&2z&=1\\ &&&&4z&=1 \end{array}\right. &\iff \left\{\begin{array}{rrrrrr} x&+&y&+&1/4& =1\\ &&2y&+&2\cdot 1/4&=1\\ &&&&z&=1/4 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{\begin{array}{rrrrrr} x&+&y&+&1/4& =1\\ &&y&&&=1/4\\ &&&&z&=1/4 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{\begin{array}{rrrrrr} &&&&x& =1/2\\ &&&&y&=1/4\\ &&&&z&=1/4 \end{array}\right. \\ \end{aligned}$$ \[S=\left\lbrace \left( \frac12;\; \frac14;\; \frac{1}{4}\right) \right\rbrace \]

$$\begin{aligned}[t] \left\{\begin{array}{rrrrrrrrr} 3x&+&y&+&z&+&2t&=& 1\\ &&y&-&2z&+&t&=&3\\ &&&&4z&-&t&=&2\\ &&&&&&2t&=&-4 \end{array}\right. &\iff \left\{\begin{array}{rrrrrrrrr} 3x&+&y&+&z&&& =&5\\ &&y&-&2z&&&=&5\\ &&&&4z&&&=&0\\ &&&&&&t&=&-2 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{\begin{array}{rrrrrrrrr} 3x&+&5&+&0&&& =&5\\ &&y&&&&&=&5\\ &&&&z&&&=&0\\ &&&&&&t&=&-2 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{\begin{array}{rrr} x&=&0\\ y&=&5\\ z&=&0\\ t&=&-2 \end{array}\right. \\ \end{aligned}$$ \[S=\left\lbrace \left( 0;\; 5;\; 0;\; -2\right) \right\rbrace \]

$$\begin{aligned}[t] \left\{\begin{array}{rrrrrrrrr} x&-&y&+&z&+&2t&=& -1\\ &&2y&-&2z&+&t&=&1\\ &&&&2z&-&t&=&2\\ \end{array}\right. &\iff \left\{\begin{array}{rrrrrrrrr} x&-&y&+&\frac{t+2}{2}&+&2t&=& -1\\ &&2y&-&2\frac{t+2}{2}&+&t&=&1\\ &&&&z&&&=&\frac{t+2}{2}\\ \end{array}\right.\\ &\iff \left\{\begin{array}{rrrrrrrrr} x&-&y&+&\frac{t+2}{2}&+&2t&=& -1\\ &&y&&&&&=&3/2\\ &&&&z&&&=&\frac{t+2}{2}\\ \end{array}\right.\\ &\iff \left\{\begin{array}{rrrrrrrrr} x&&&&&&&=& \frac{-5t-1}{2}\\ &&y&&&&&=&3/2\\ &&&&z&&&=&\frac{t+2}{2}\\ \end{array}\right.\\ \end{aligned}$$ \[S=\left\lbrace \left(\frac{-5t-1}{2};\;\frac{3}{2};\;\frac{t+2}{2};\; t\right)\in\mathbb{R}^4 \; \Bigg\vert \; t\in\mathbb{R}\right\rbrace \]

\[S=\left\lbrace \left(1-y-z;\;y;\;z\right)\in\mathbb{R}^3 \; \Bigg\vert \; y,z\in\mathbb{R}\right\rbrace \]

1. si $k=1$ alors $S=\big\{(x;1-x) \mid x\in\mathbb{R} \big\}$
2. si $k=-1$ alors $S=\varnothing$
3. si $k\neq \pm 1$ alors $S=\left\{\left(\frac{1}{k+1};\frac{1}{k+1}\right) \mathrel{\Big|} k\in\mathbb{R}\backslash \left\{\pm 1\right\} \right\}$

laissé au soin du lecteur

La matrice $\mathcal{A}$ du système admet le déterminant: $$ \operatorname{det} \mathcal{A}=\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right|=a^{3}+1+1-a-a-a=a^{3}-3 a+2= (a-1)^{2}(a+2) $$

– $1^{\text { er }}$ cas : ${a \neq 1 \text { et } a \neq-2}$

Alors det $\mathcal{A} \neq 0,$ donc le système est de Cramer. Il admet une solution unique :

$$\operatorname{det} \mathcal{A}_{1}=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a \end{array} \right|=0 \text{ car } C_{1}=C_{3}$$

$$\operatorname{det} \mathcal{A}_{2}=\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a \end{array} \right|=0 \text{ car } C_{2}=C_{3}$$

et $$\operatorname{det} \mathcal{A}_{3}=\left|\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right|=\operatorname{det} \mathcal{A}=(a-1)^{2}(a+2)$$

D'où $S=\{(0,0,1)\}$

Interprétation géométrique : les équations du système sont celles de 3 plans qui se coupent en un point unique (qui est même indépendant du paramètre $a$ ).

– $2^{\text { ème }}$ cas : $a = 1$ Le système s'écrit : $$ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \\ \end{array}\right. \iff x+y+z=1 $$ On exprime $x$ en fonction de $y$ et de $z$ : $ S=\{(1-y-z, y, z) ~\big| ~ y, z \in \mathbb{R}\} $

Interprétation géométrique : les équations du système sont celles de 3 plans confondus. Le plan solution passe par $A(1,0,0)$ et admet les vecteurs directeurs non parallèles $\vec{u}(-1,1,0)$ et $\vec{v}(-1,0,1)$.

– $3^{\text { ème }}$ cas : $a = -2$ Le système s'écrit : $$ \left\{\begin{array}{l} -2 x+y+z=1 \\ x-2 y+z=1 \\ x+y-2 z=-2 \end{array}\right. $$

Méthode de Gauss : $$ \begin{array}{ccc|ll} 1 & -2 & 1 & 1 & (2) \\ -2 & 1 & 1 & 1 & (1) \leftarrowtail (1)+2 \cdot(2) \\ 1 & 1 & -2 & -2 & (3) \leftarrowtail (3)-(2)) \end{array} \iff \begin{array}{ccc|cc} 1 & -2 & 1 & 1 & (2) \\ 0 & -3 & 3 & 3 & \left(1^{\prime}\right) \\ 0 & 3 & -3 & -3 & \left(3^{\prime}\right) \end{array} $$

$\left(1^{\prime}\right) $ et $\left(3^{\prime}\right) $ sont équivalentes et le système est équivalent à : $$ \left\{\begin{array}{l} x-2 y+z=1 \\ y=z-1 \end{array} \iff\left\{\begin{array}{l} x=2(z-1)-z+1 \\ y=z-1 \end{array} \iff\left\{\begin{array}{l} x=z-1 \\ y=z-1 \end{array}\right.\right.\right. $$

$$ S=\{(z-1, z-1, z) ~\big| ~ z \in \mathbb{R}\} $$

Interprétation géométrique : les équations du système sont celles de 3 plans qui se coupent suivant une droite de repère $(B, \vec{w})$ avec $B(0,0,1)$ et $\vec{w}(1,1,1)$.

\[x\left(\begin{matrix} 1\\ 2\\ 3\end{matrix}\right)+y\left( \begin{matrix} 4\\ 5\\ 6\end{matrix}\right)+z\left( \begin{matrix} 7\\ 8\\ 9\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} x+4y+7z\\ 2x+5y+8z\\ 3x+6y+9z\end{matrix}\right)\]

\[\begin{aligned} \left(\begin{matrix} x+4y+7z\\ 2x+5y+8z\\ 3x+6y+9z\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\end{matrix}\right) &\iff S \equiv \left\{\begin{array}{rrrrrrr} x & + & 4y & + & 7z & =& 0\\ 2x & + & 5y & + & 8z & =&0\\ 3x & + & 6y & + & 9z & =&0 \end{array}\right.\\ &\iff S \equiv \left\{\begin{array}{rrrrrrr} x & + & 4y & + & 7z &=& 0\\ & & y & + & 2z &=& 0 \end{array}\right.\\ \end{aligned}\] \[S=\left\lbrace \left(z;\;-2z;\;z\right)\in\mathbb{R}^3 \; \Bigg\vert \; z\in\mathbb{R}\right\rbrace \]

remarque : la matrice $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}$$ a un déterminant nul, il n'est pas possible de résoudre le système par Cramer.

$$U_1= \left( \begin{matrix} 1&0\\ 0& 1\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 0&2\\-2&0\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1&2\\ -2& 1\end{matrix}\right) $$

$$U_2= \left( \begin{matrix} 1&2\\ -2& 1\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 0&2\\-2&0\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1&4\\ -4& 1\end{matrix}\right) $$

$$U_3= \left( \begin{matrix} 1&4\\ -4& 1\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 0&2\\-2&0\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1&6\\ -6& 1\end{matrix}\right) $$

$$\forall n \in \mathbb{N} \; :\; U_n= \left( \begin{matrix} 1&2n\\ -2n& 1\end{matrix}\right) $$

$$A_1 = -2 \left( \begin{matrix} 0\\ 0\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 1\\-1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1\\-1\end{matrix}\right) $$ $$A_2 = -2 \left( \begin{matrix} 1\\-1\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 1\\-1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -1\\1\end{matrix}\right) $$ $$A_3 = -2 \left( \begin{matrix} -1\\1\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 1\\-1\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 3\\-3\end{matrix}\right) $$ \[\begin{aligned} A_{n+1}=-2A_n+\left( \begin{matrix} 1\\-1\end{matrix}\right) &\iff \left( \begin{matrix} x_{n+1}\\y_{n+1}\end{matrix}\right) = -2 \left( \begin{matrix} x_{n}\\y_{n}\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 1\\-1\end{matrix}\right) \\ &\iff \left( \begin{matrix} x_{n+1}\\y_{n+1}\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -2x_{n}+1\\-2y_{n}-1\end{matrix}\right) \\ \end{aligned}\]

$\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ sont deux suites numériques définies par récurrence comme suit :

$$\left\{ \begin{array}{l} x_0=0 \\ x_{n+1}=-2x_{n}+1 \text{ pour }n\geqslant 1 \end{array} \right.$$ et $$\left\{ \begin{array}{l} y_0=0 \\ y_{n+1}=-2y_{n}-1 \text{ pour }n\geqslant 1 \end{array} \right.$$

La suite $\left(x_n\right)$ est une suite arithmético-géométrique ! Pour déterminer la formule explicite de son terme générale, on introduit une suite auxiliaire $\left(x'_n\right)$ vérifiant la relation $x'_n=x_n-m$ avec $m$ un réel à déterminer pour que $\left(x'_n\right)$ soit une suite géométrique.

Dès lors, $x'_0 = x_0-m = -m$ et $$\begin{aligned}[t] x'_{n+1} &= x_{n+1} - m \\ &=-2x_{n}+1 - m \\ &=-2\left(x'_{n}+m\right)+1 - m \\ &=-2x'_{n}-3m+1 \\ \end{aligned}$$

Il suffit de poser $m=\frac{1}{3}$ pour que $\left(x'_n\right)$ soit une suite géométrique !

$$\left\{ \begin{array}{l} x'_0=\frac13 \\ x'_{n+1}=-2x'_{n} \text{ pour }n\geqslant 1 \end{array} \right. \implies x'_n = -\frac13 \cdot \left(-2\right)^n$$

Conclusion : $x_n = \frac13-\frac13 \cdot \left(-2\right)^n$ ou encore $x_n =\frac{1-\left(-2\right)^n}{3}$

Même raisonnement pour la suite $\left(y_n\right)$; on obtient : $y_n =\frac{\left(-2\right)^n-1}{3}$

Solution finale : $$A_n = \left( \begin{matrix} \frac{1-\left(-2\right)^n}{3}\\[2mm]\frac{\left(-2\right)^n-1}{3}\end{matrix}\right)$$