Types d'équations et inéquations

Valeurs absolues

Les (in)équations faisant intervenir des valeurs absolues sont particulières car elles peuvent souvent se décomposer en deux (in)équations distinctes sans valeur absolue. La raison est simple : la valeur absolue d'un nombre est sa distance par rapport à zéro sur la ligne numérique, et cette distance peut être obtenue de deux manières, soit par un nombre positif, soit par son négatif.

\begin{align*}|x-2| = |2x+1| &\iff \begin{cases} x-2=2x+1 \\ x-2=-2x-1 \end{cases} \\ &\iff S_{1} = \left\{-3, \frac{1}{3}\right\}\end{align*}

\begin{align*}|x-2| < 5 &\iff -5 < x-2 < 5 \\ &\iff -3 < x < 7 \\ &\iff S_{2} = [-3, 7] \end{align*}

\begin{align*}|x+3| > 2 &\iff \begin{cases} x+3>2 \\ x+3<-2 \end{cases} \\ &\iff S_{3} = ]-\infty,-5[ \cup ]-1, +\infty[ \end{align*}

\begin{align*}|3x+1| \geq |2x+4| &\iff (3x+1)^2 \geq (2x+4)^2 \\ &\iff (3x+1)^2 - (2x+4)^2 \geq 0 \\ &\iff (x-3)(5x+5) \geq 0 \\ &\iff S_{4} = ]-\infty,-1] \cup [3,+\infty[ \end{align*}

Irrationnelles

Résoudre dans \(\mathbb R\)

\(\sqrt{5-x}=2-x\)

CE : \( 5-x \geq 0 \iff x\leq 5\)

CR : \( 2-x \geq 0 \iff x\leq 2\)

d'où : \( x\in ]-\infty;2]\)

\[ \begin{aligned} 5-x=(2-x)^2 &\iff x^2-3x-1=0 \\ &\iff \begin{cases}x_1 = \frac{3-\sqrt{13}}{2}\in]-\infty;2] \\ x_2 = \frac{3+\sqrt{13}}{2}\notin]-\infty;2] \end{cases}\\ & S=\left\lbrace\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right\rbrace \end{aligned} \]

\(4\sqrt{x^2-4}=4-x\)