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−Table des matières

Conjugué d’un nombre complexe

Le conjugué de z=x+y⋅i est le nombre ¯z=x−y⋅i.

Caractéristiques du conjugué d'un nombre complexe :

  • ¯¯z=z
  • z+¯z=2×Re(z)
  • z−¯z=2i×Im(z)
  • Si z∈R alors z=¯z
  • Si z est imaginaire pur, alors, ¯z=−z

Propriétés du conjugué

1) Le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués. \bbox[lightyellow,5px] {{\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}\;\;}}

2) Le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués. \bbox[lightyellow,5px] {{\overline{z\times z'}=\overline{z}\times\overline{z'}\;\;}}

preuve

preuve

\begin{align*} \overline{z\times z'} &= \overline{(a+bi)\cdot (a'+b'.i)} \\ &= \overline{a.a'-b.b'+(a.b'+a'.b).i}\\ &=a.a'-b.b'-(a.b'+a'.b).i \end{align*}

\begin{align*} \overline{z}\times \overline{z'} &= \overline{(a+bi)}\cdot \overline{(a'+b'.i)}\\ &= (a-bi)\cdot (a'-b'.i) \\ &= a.a'-b.b'-(a.b'+a'.b).i \end{align*}

3) Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués. \bbox[lightyellow,5px] {{\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}\;\;}}

4) Le conjugué d'une puissance est égal à la puissance du conjugué. \bbox[lightyellow,5px] {{\overline{z^n}=\overline{z}^n\;\;}}

preuve

preuve

\begin{align*} \overline{z^n} &= \overline{\underbrace{z \times z \times z \cdots \times z}_{\text{n facteurs}}}\\ &=\underbrace{\overline{z} \times \overline{z} \times \overline{z} \cdots \times \overline{z}}_{\text{n facteurs}} \\ &= \overline{z}^n \end{align*}

5) Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est égal au carré de son module : \bbox[lightyellow,5px] {{z\cdot \overline{z}=|z|^2\;\;}}

Exercices

Exercices sur le conjugué d’un nombre complexe