Conjugué d’un nombre complexe

Le conjugué de $z=x+y\cdot \mathbf{i}$ est le nombre $\overline{z}=x-y\cdot \mathbf{i}$.

Caractéristiques du conjugué d'un nombre complexe :

$\overline{\overline{z}}=z$
$z+\overline{z}=2\times \text{Re}(z)$
$z-\overline{z}=2i\times \text{Im}(z)$
Si $z\in \mathbb{R}$ alors $z=\overline{z}$
Si $z$ est imaginaire pur, alors, $\overline{z}=-z$

Propriétés du conjugué

1) Le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués. $\bbox[lightyellow,5px] {{\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}\;\;}}$

2) Le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués. $\bbox[lightyellow,5px] {{\overline{z\times z'}=\overline{z}\times\overline{z'}\;\;}}$

preuve

\begin{align*} \overline{z\times z'} &= \overline{(a+bi)\cdot (a'+b'.i)} \\ &= \overline{a.a'-b.b'+(a.b'+a'.b).i}\\ &=a.a'-b.b'-(a.b'+a'.b).i \end{align*}

\begin{align*} \overline{z}\times \overline{z'} &= \overline{(a+bi)}\cdot \overline{(a'+b'.i)}\\ &= (a-bi)\cdot (a'-b'.i) \\ &= a.a'-b.b'-(a.b'+a'.b).i \end{align*}

3) Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués. $\bbox[lightyellow,5px] {{\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}\;\;}}$

4) Le conjugué d'une puissance est égal à la puissance du conjugué. $\bbox[lightyellow,5px] {{\overline{z^n}=\overline{z}^n\;\;}}$

preuve

\begin{align*} \overline{z^n} &= \overline{\underbrace{z \times z \times z \cdots \times z}_{\text{n facteurs}}}\\ &=\underbrace{\overline{z} \times \overline{z} \times \overline{z} \cdots \times \overline{z}}_{\text{n facteurs}} \\ &= \overline{z}^n \end{align*}

5) Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est égal au carré de son module : $\bbox[lightyellow,5px] {{z\cdot \overline{z}=|z|^2\;\;}}$

Exercices

Exercices sur le conjugué d’un nombre complexe