1. $\mathbf{i}^3=-\mathbf{i}$
2. $\mathbf{i}^6=\left(\mathbf{i}^3\right)^2=\left(-\mathbf{i}\right)^2 = -1$
3. $\mathbf{i}^{16}=\left(\mathbf{i}^{2}\right)^8 = (-1)^8 = 1$
4. $\mathbf{i}^4 = \left(\mathbf{i}^2\right)^2=(-1)^2=1$
5. $\mathbf{i}^9 = \left(\mathbf{i}^3\right)^3 = \left(-\mathbf{i}\right)^3 = -\mathbf{i}^3 = \mathbf{i}$
6. $\mathbf{i}^{32}=1$

Calculons \((1 + 2i)^2\): \[ (1 + 2i)^2 = 1^2 + 2(1 \cdot 2i) + (2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i \]

Sachant que \(i^2 = -1\), on a \(i^3 = i \cdot i^2 = -i\).

On a :

\begin{align*} \frac{-3 + 4i + i}{2 + i} &= \frac{-3 + 5i}{2 + i} \\ &= \frac{-3 + 5i}{2 + i} \times \frac{2 - i}{2 - i} \\ &= \frac{-6 + 3i + 10i + 5}{4 + 1} \\ &= \frac{-1 + 13i}{5} \end{align*}

$\dfrac{\left( 1-2 \mathbf{i} \right)^2+\mathbf{i}^3}{2- \mathbf{i} } = \dfrac{-1 - 13i}{5}$

1. $\mathbf{i}$
2. $-1$
3. $0$

1. $-\sqrt{5}-11\mathbf{i}$
2. $1-\mathbf{i}$
3. $S=\left\lbrace -3+\mathbf{i},\:3-\mathbf{i}\right\rbrace$

$(6-2 \mathbf{i})-4=2-2\mathbf{i}$

$\dfrac{1}{\mathbf{i}} = -\mathbf{i}$

$\mathbf{i}^8+3 \mathbf{i}^7=1-3\mathbf{i}$

$\dfrac{2+\mathbf{i}}{1-2 \mathbf{i}}=\mathbf{i}$

$(3+2 \mathbf{i})+(5-\mathbf{i}) = 8+\mathbf{i}$

$\dfrac{3+2 \mathbf{i}}{2-3 \mathbf{i}} = \mathbf{i}$

$(6-\mathbf{i})+(4-3 \mathbf{i}) = 10-4\mathbf{i}$

$\dfrac{2 \mathbf{i}}{2+\mathbf{i}} = \dfrac25+\dfrac45\mathbf{i}$

$(-2+3 \mathbf{i})+(6-4 \mathbf{i}) $
$=4-\mathbf{i}$

$\dfrac{3-2 \mathbf{i}}{\mathbf{i}} = -2-3\mathbf{i}$

$(-2-\mathbf{i})+(-1+7 \mathbf{i}) =-2-1+(-1+7)\mathbb{i} = -3+6\mathbf{i}$

$(a+\mathbf{i} b)+(c+\mathbf{i} d) = (a+c)+(b+d) \mathbf{i}$

$1+\mathbf{i}-3 \mathbf{i}^2+\mathbf{i}^7 = 4$

$\dfrac{-1+\mathbf{i} \sqrt{3}}{-1-\mathbf{i} \sqrt{3}} = -\dfrac12-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i}$

$(a+\mathbf{i} b)-(2-3 \mathbf{i}) = (a-2)+(b+3)\mathbf{i}$

$\left(-\dfrac{1}{2}+\mathbf{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = 1$

$(3+\mathbf{i})(2+4 \mathbf{i}) = 2+14\mathbf{i}$

$(-1+\mathbf{i})^4 = \Par{(-1+\mathbf{i})^2}^2$
$= \Par{-2\mathbf{i}}^2=-4$

$(1-\mathbf{i})(2+3 \mathbf{i}) = 5+\mathbf{i}$

$\left(\dfrac{2+3 \mathbf{i}}{5+\mathbf{i}}\right)^4 = -\dfrac14$

$(2-\mathbf{i})(3+2 \mathbf{i}) = 8+\mathbf{i}$

$$\begin{aligned} \left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}+\mathbf{i} \sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^8 &=\dfrac{\left(\left({\sqrt{2+\sqrt{2}}+\mathbf{i} \sqrt{2-\sqrt{2}}}\right)^2\right)^4}{256}\\ &=\dfrac{\left(2+\sqrt{2}-2+\sqrt{2}+2\mathbf{i}\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}\right)^4}{256}\\ &=\dfrac{\left(2\sqrt{2}+2\mathbf{i}\sqrt{2}\right)^4}{256}\\ &=\dfrac{\left(2\sqrt{2}\right)^4\left(1+\mathbf{i}\right)^4}{256}\\ &=\dfrac{\left(1+\mathbf{i}\right)^4}{4} = \dfrac{-4}{4} = -1 \end{aligned}$$

$(1-4 \mathbf{i})^2 = -15-8\mathbf{i}$

$\dfrac{1}{2-3 \mathbf{i}} = \dfrac2{13}+\dfrac3{13}\mathbf{i}$

$$\begin{aligned} \left(\dfrac{\sqrt{6}-\mathbf{i} \sqrt{2}}{2(1-\mathbf{i})}\right)^{12} &=\left(\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-\mathbf{i}\right)}{2(1-\mathbf{i})}\right)^{12}\\ &=\dfrac1{64}\left(\dfrac{(\sqrt{3}-\mathbf{i})^2}{(1-\mathbf{i})^2}\right)^{6}\\ &=\dfrac1{64}\left(\dfrac{{2-2\sqrt{3}\mathbf{i}}}{-2\mathbf{i}}\right)^{6}\\ &=\dfrac1{64}\left(\sqrt{3}+\mathbf{i}\right)^{6}\\ &=\dfrac1{64}\left(\left(\sqrt{3}+\mathbf{i}\right)^{3}\right)^2\\ &=\dfrac1{64}\left(8\mathbf{i}\right)^2 = -1 \end{aligned}$$

$\text{Re}(2\mathbf{i}-3) = \text{Re}(-3+2\mathbf{i}) = -3$ : vrai

$\text{Im}(4+5\mathbf{i})=5$ et pas $5i$ ! faux

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ donc, si $n\in\mathbb{N}$ alors $n\in\mathbb{C}$ et l'affirmation est vraie.

$(1+\mathbf{i})^2 = 1+2\mathbf{i}+\mathbf{i}^2 = 1+2\mathbf{i}-1=2\mathbf{i}$ : vrai car un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme $b\cdot i$ avec $b$ réel, $i$ étant l'unité imaginaire.

Par exemple, $i$ et $-3i$ sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle.

1. $(3-\mathbf{i})^2 = 9-6\mathbf{i}+\mathbf{i}^2 = 8-6\mathbf{i}$
2. $(2\mathbf{i}-1)(3+\mathbf{i})=-5+5\mathbf{i}$
3. $3\mathbf{i}(1+\mathbf{i})-5(2-3\mathbf{i}) = -13+18\mathbf{i}$

$\left(x+3y\right)+\left(-2x+5y \right)\mathbf{i} = 1+3 \mathbf{i}$ $\iff \begin{cases} x+3y = 1\\-2x+5y=3\end{cases}$ $\iff \begin{cases} x=-\frac{4}{11}\\y=\frac{5}{11}\end{cases}$

$\begin{cases} x=\frac{14}{11}\\y=\frac{1}{11}\end{cases}$

$\left( 1- \mathbf{i} \right)z+2-3 \mathbf{i} = \left( 3+4 \mathbf{i} \right)z$ $\iff \left( 1- \mathbf{i} \right)z-\left( 3+4 \mathbf{i} \right)z = -2+3 \mathbf{i}$ $\iff \left( -2- 5\mathbf{i} \right)z = -2+3 \mathbf{i}$ $\iff z = \frac{-2+3 \mathbf{i}}{ -2- 5\mathbf{i} }$ $\iff z = \frac{\left(-2+3 \mathbf{i}\right)\left( -2+ 5\mathbf{i} \right)}{ 29 }$ $\iff z = \frac{-11-16\mathbf{i}}{ 29 }$

$ z = \frac{-4-19\mathbf{i}}{ 29 }$

a) Faux : $ \dfrac1{a+{\mathbf{i}}b}=\dfrac{a-{\mathbf{i}}b}{a^2+b^2} = \dfrac{a}{a^2+b^2} - \dfrac{b}{a^2+b^2} \mathbf{i}$

b) Vrai : $\dfrac{1}{\mathbf{i}} = \dfrac{-\mathbf{i}}{\mathbf{i}\cdot (-\mathbf{i})} = \dfrac{-\mathbf{i}}{1}=-\mathbf{i}$

1) RCC$(7+6\sqrt{2} \mathbf{i})= \begin{cases} \sqrt{2}+3\mathbf{i}\\-\sqrt{2}-3\mathbf{i}\end{cases}$

2) RCC$(1+\sqrt{3}\mathbf{i})= \begin{cases} \frac{\sqrt{6}+\mathbf{i}\sqrt{2}}{2}\\\frac{-\sqrt{6}-\mathbf{i}\sqrt{2}}{2}\end{cases}$

1) RCC$(7+6\sqrt{2} \mathbf{i})$ $= \begin{cases} 3+\mathbf{i}\sqrt{2}\\-3-\mathbf{i}\sqrt{2}\end{cases}$

2) RCC$(1-\sqrt{3}\mathbf{i})$ $= \begin{cases} \frac{\sqrt{6}-\mathbf{i}\sqrt{2}}{2}\\\frac{-\sqrt{6}+\mathbf{i}\sqrt{2}}{2}\end{cases}$

voir Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique

$\Re{\left(2-2\sqrt{3} \mathbf{i}\right)} = 2$ ; $\Im{(2-2\sqrt{3} \mathbf{i})} = -2\sqrt{3} < 0$

et $|2-2\sqrt{3} \mathbf{i}|=4$ $$\text{RCC}\left(2-2\sqrt{3} \mathbf{i}\right) = \mp\sqrt{\dfrac{4+2}{2}}\pm \mathbf{i} \sqrt{\dfrac{4-2}{2}} = \mp\sqrt3\pm \mathbf{i}$$

voir Racines carrées d'un nombre complexe sous forme algébrique

1. il suffit d'utiliser la propriété $|z\cdot z'| = |z| \cdot |z'|$.

ici : $|\mathbf{i} \cdot \left( 1+ \mathbf{i} \right)| = |\mathbf{i}|\cdot |\left( 1+ \mathbf{i} \right)| = 1\cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$

2. de même : $|z^n| = |z|^n$. (voir la propriété ici)

donc : $|\left( 1+ \mathbf{i} \right)^{16}| = |1+ \mathbf{i} |^{16} = \left(\sqrt{1^2+1^2}\right)^{16} = \left(\sqrt{2}\right)^{16} = 2^{\tfrac12\cdot 16} = 2^8$

\begin{align*} |z_1| &= \sqrt{13} \\ |z_1 - z_2| &= \sqrt{17} \\ |z_1 + 2z_2| &= \sqrt{65} \\ |z_1 z_2| &= \sqrt{130} \end{align*}

$\left|z_1\right|^2 = 26$ et $\left|z_2\right|^2 = 13$ et on a bien $\left|z_1\right|^2=2\left|z_2\right|^2$

$\begin{aligned}[t]\left| -1+8\mathbf{i} \right| = \left| (1-k)+7\mathbf{i} \right| &\iff 65=(1-k)^2+49 \\ &\iff k=-3 \text{ ou } k=5\end{aligned}$

$$\begin{aligned} |z-2 \mathbf{i}|=|z-1| &\iff |x+\mathbf{i} y-2 \mathbf{i}|=|x+\mathbf{i} y-1| \\ &\iff |x+(y-2)\mathbf{i} |=|(x-1)+\mathbf{i} y| \\ &\iff x^2+(y-2)^2=(x-1)^2+y^2 \\ &\iff x^2+y^2-4y+4=x^2+y^2-2x+1\\ &\iff 2x-4y+3=0\\ \end{aligned}$$

$x=-11$ ou $x=9$

$z=1+2\mathbf{i}$ ou $z=1-\dfrac12 \mathbf{i}$

\begin{align*} |x+y\mathbf{i}|-(x+y\mathbf{i})=1+2 \mathbf{i} &\iff \sqrt{x^2+y^2}-x-y\mathbf{i}=1+2 \mathbf{i} \\ &\iff \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2}-x=1\\-y=2\end{cases} \\ &\iff \sqrt{x^2+4}=x+1 \end{align*}

la ou les solutions éventuelles doivent vérifier $x+1\geq 0$ ($x^2+4$ étant toujours positif)

mise au carré des deux membres de l'égalité : $x^2+4=(x+1)^2$

après calculs, on trouve $x=\frac32$

et la solution attendue est $z=\dfrac32-2\mathbf{i}$

\begin{align*} |z^2| &= \sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2} \\ &= \sqrt{a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2} \\ &= \sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4} \\ &= \sqrt{(a^2+b^2)^2} = a^2+b^2 \end{align*} et $$|z| = \sqrt {a^2+b^2}\implies |z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2$$ cqfd

Propriétés du module

1. \( |\mathbf{i} \left( 1+ \mathbf{i} \right) | = |\mathbf{i}|\cdot |1-\mathbf{i}| = \sqrt{2}\)

2. \(|\left(1 - \mathbf{i}\right)^{18}| = |1 - \mathbf{i}|^{18} = \left(\sqrt{2}\right)^{18} = 2^9 = 512 \)

autre méthode (à éviter) \begin{align*} |\left(1 - \mathbf{i}\right)^{18}| &= \left|\left(\left(1 - \mathbf{i}\right)^2\right)^{9}\right| \\ &= |\left(-2\mathbf{i}\right)^{9}| \\ &= |-2^9\cdot\mathbf{i}^{9}| \quad (\mathbf{i}^{9}=\mathbf{i})\\ &= |-2^9\cdot \mathbf{i}| = 2^9 =512 \end{align*}

\begin{align*} |x+y\mathbf{i}|+(x+y\mathbf{i})=2+ \mathbf{i} &\iff \sqrt{x^2+y^2}+x+y\mathbf{i}=2+ \mathbf{i} \\ &\iff \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2}+x=2\\y=1\end{cases} \\ &\iff \sqrt{x^2+1}=2-x \end{align*}

la ou les solutions éventuelles doivent vérifier $2-x\geq 0$ ($x^2+1$ étant toujours positif)

mise au carré des deux membres de l'égalité : $x^2+1=(2-x)^2$

après calculs, on trouve $x=\frac34$

et la solution attendue est $z=\dfrac34+\mathbf{i}$

Pour montrer cela, nous devons montrer deux choses:

1. Si \( z \) est un réel, alors \( z = \overline{z} \).
2. Si \( z = \overline{z} \), alors \( z \) est un réel.

Preuve pour 1: Soit \( z \) un nombre réel. Les nombres réels n'ont pas de partie imaginaire. Ainsi, pour \( z \) un réel, on peut écrire \( z = a + 0i \), où \( a \) est un réel. Le conjugué de \( z \) est donné par \( \overline{z} = a - 0i = a \). Donc, pour tout réel \( z \), \( z = \overline{z} \).

Preuve pour 2: Soit \( z \) un nombre complexe tel que \( z = \overline{z} \). Écrivons \( z \) sous la forme \( z = a + bi \), où \( a \) et \( b \) sont des réels. Le conjugué de \( z \) est donné par \( \overline{z} = a - bi \). Si \( z = \overline{z} \), alors \( a + bi = a - bi \). Pour que cette équation soit vraie, la partie imaginaire de \( z \) doit être égale à zéro, c'est-à-dire \( bi = 0 \). La seule manière pour que cela se produise est que \( b = 0 \), et donc \( z = a \), un réel. Ainsi, si \( z = \overline{z} \), alors \( z \) est un réel.

En combinant les preuves 1 et 2, nous concluons que \( z \) est un réel si et seulement si \( z = \overline{z} \).

Soit $z=a+b\mathbf{i}$. $$z+\overline{z}=a+b\mathbf{i} +a-b\mathbf{i} = 2a = 2 \cdot \text{Re}(z)$$

Soit $z=a+b\mathbf{i}$. $$\overline{z} - z = a - b\mathbf{i} - a - b \mathbf{i} = -2b\mathbf{i} = 2 \mathbf{i} (-b) = 2\cdot \mathbf{i} \cdot \text{Im}(\overline{z})$$

à montrer : si \( z \) est un nombre complexe non nul, alors: \[ \begin{array}{rl} |z^{-1}| & = \left|\dfrac{1}{a+b.i}\right| \\ & = \left|\dfrac{a-b.i}{a^2+b^2}\right| \\ & = \dfrac{1}{a^2+b^2}\left|a-b.i\right| \\ & = \dfrac{1}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ & = \dfrac{1}{|z|} \end{array} \] Plus élégamment : $$|z^{-1}| = \overbrace{\dfrac{|z^{-1}|\cdot|z|}{|z|} = \dfrac{|z^{-1} \cdot z|}{|z|}}^{\star} = \dfrac{|1|}{|z|} = \dfrac{1}{|z|} $$

$\star$ : le produit du module de deux nombres complexes est le module du produit de ces complexes

1. Soit \( z \) un nombre complexe que l'on écrit sous sa forme algébrique : \( z = a + bi \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels. Le conjugué de \( z \) est donné par : \( \overline{z} = a - bi \).

On cherche les nombres complexes \( z \) tels que \( z^2 = \overline{z} \).

Calculons \( z^2 \) :

\[ z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi \]

Ainsi, pour \( z^2 = \overline{z} \), nous devons avoir :

\[ \left\{ \begin{array}{lr} a^2 - b^2 = a & [1]\\ 2ab = -b & [2] \end{array} \right. \] ou \[ \left\{ \begin{array}{lr} a^2 - b^2 = a & [1]\\ (2a+1)b=0 & [2] \end{array} \right. \]

Si \( b \neq 0 \), alors \(a = -\dfrac{1}{2} \) (ligne [2]) et \(b = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ ou } b = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (ligne [1])

Les solutions sont alors :

\[ z_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \text{ et } z_2 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \]

Si \( b = 0 \), alors [1] → \(a^2-a=0 \iff a=0 \text{ ou } a=1\)

Les solutions sont alors : $z_3= 0+0.i=0$ et $z_4= 1+0.i = 1$

On a identifié quatre solutions possibles pour le complexe \( z \) :

• \( z_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \)
• \( z_2 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \)
• \( z_3 = 0 \) (ou, de manière équivalente, \( 0 + 0i \))
• \( z_4 = 1 \) (ou, de manière équivalente, \( 1 + 0i \))

2. Soit \( z = a + bi \)

1. Condition nécessaire :

   Supposons que \( |z| = 1 \). Alors, \( a^2 + b^2 = 1 \) et on a,

   \[ \begin{array}{rl} z^{-1} & = \dfrac{1}{z} \\ & = \dfrac{1}{a+bi} \\ & = \dfrac{a-bi}{a^2+b^2} \\ & = a - bi \\ & =\overline{z} \end{array} \]

   cqfd

2. Condition suffisante :

   Supposons que \( z^{-1} = \overline{z} \). On a donc, \[ \dfrac{a-bi}{a^2+b^2} = a-bi\]

   Cela implique que : \[ a^2 + b^2 = 1 \]

   D'où \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = 1 \).

   cqfd

3. Soit \( z_1 \) et \( z_2 \) sous leur forme algébrique.

Soit \( z_1 = a + b\ \mathbf{i} \) et \( z_2 = c + d\ \mathbf{i} \) où \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \).

Étape 1: Calculer \( \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \) \[ \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = (a - b\ \mathbf{i})(c - d\ \mathbf{i})=(ac - bd) - (ad + bc)\ \mathbf{i} \]

Étape 2: Calculer \( z_1 \cdot z_2 \) \[ z_1 \cdot z_2 = (a + b\ \mathbf{i})(c + d\ \mathbf{i})= (ac - bd) + (ad + bc)\ \mathbf{i} \]

Finalement : \[ \begin{array}{rcl} \overline{z_1 \cdot z_2} & = & \overline{(ac - bd) + (ad + bc)\ \mathbf{i}} \\ & = & (ac - bd) - (ad + bc)\ \mathbf{i} \\ & = & \overline{z_1}\cdot \overline{z_2} \end{array} \]

1. $3 z_1 = 9-3\mathbf{i}$
2. $z_1 \overline{z_2} = (3-\mathbf{i}) \cdot (1-2 \mathbf{i}) = 1-7\mathbf{i}$
3. $z_1-z_3 = 3+i$
4. $\mathbf{i} z_1^2+\dfrac{z_2}{z_3} = 5+\dfrac{17}{2}\mathbf{i}$
5. $2 z_1+z_2 = 7$
6. $\left(z_1+{\overline{z_2}}^2\right)^2 = -25$
7. $2 z_2+\mathbf{i} z_3 = 4+4\mathbf{i}$
8. $z_3\left(z_1+\overline{\left(\dfrac{1}{z_2}\right)}\right)^2 = -\dfrac{192}{25}-\dfrac{494}{25}\mathbf{i}$
9. $\mathbf{i}\left(z_2 z_3\right) = 2+4\mathbf{i}$
10. $\mathbf{i} z_1+\mathbf{i} z_2 = -1+4\mathbf{i}$
11. $\left(z_1+{\overline{z_2}}^2+\dfrac{\mathbf{i}}{z_1+z_3}\right)^2 = - \dfrac{70}{3} + \dfrac{29}{18}\mathbf{i}$
12. $z_1+\overline{z_2}= 4-3\mathbf{i}$
13. $z_1+\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_1^2}+\dfrac{1}{\mathbf{i} \overline{z_1}}= \dfrac{82}{25}-\dfrac{57}{50}\mathbf{i}$
14. $\mathbf{i} z_1+\overline{z_3}= 1+5\mathbf{i}$