Forme trigonométrique

Soit $z$ un nombre complexe non nul : $z=a+b\ \mathbf{i} $.
On exprime $a$ et $b$ en fonction du module $|z|$ de $z$ et de son argument principal $\theta$ comme suit :

\[ \begin{aligned} z =a+b\ \mathbf{i} &=|z| \cos(\theta) + |z| \sin(\theta) \cdot\ \mathbf{i} \\ &=|z|(\cos(\theta)+\ \mathbf{i}\sin(\theta)) \\ &= r\cdot \text{cis}(\theta) \quad \text{(notation abrégée où $r=|z|$)} \end{aligned} \]

L'argument d'un nombre complexe $ z $ correspond à l'angle formé entre l'axe des réels positifs (l'axe des abscisses) et la droite passant par l'origine et le point associé à $ z $.

Pour convertir le nombre complexe $ z = 1 + \mathbf{i}\sqrt{3} $ en forme trigonométrique, nous devons déterminer deux choses :

1. Le module $ r $ : qui est la distance de $ z $ à l'origine dans le plan complexe. 2. L'argument $ \theta $ : qui est l'angle formé par le segment reliant $ z $ à l'origine et l'axe des réels.

1. Calcul du module $ r $: \[ r = |z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 \]

2. Calcul de l'argument $ \theta $: Nous utilisons généralement la fonction $ \arctan $ (ou $ \tan^{-1} $) pour trouver l'argument. Dans ce cas, \[ \theta = \arctan\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} \]

Rappelez-vous que $ \arctan(\sqrt{3}) $ donne $ \frac{\pi}{3} $ car $ \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $.

Le cercle trigonométrique est un outil précieux pour trouver l'argument d'un nombre complexe.

Donc, en forme trigonométrique, le nombre complexe $ z = 1 + \mathbf{i}\sqrt{3} $ s'écrit : \[ z = 2 \cdot \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Un nombre complexe non nul $z$ a une infinité d'arguments: si $\theta$ est un de ces arguments, alors tous les autres sont de la forme $\theta+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
On note $\mbox{arg}(z)=\theta$ (modulo $2\pi$), ou $\mbox{arg}(z)=\theta \pmod {2\pi}$, ou encore, pour simplifier (abus de langage), $\mbox{arg}(z)=\theta$.

Deux nombres complexes conjugués ont le même module et des arguments opposés. \[\bbox[lightblue,5px] { \arg(\ \overline{z}\ ) = -\arg(z) \pmod {2\pi} }\] Leurs points-images associés sont symétriques par rapport à l'axe réel.

De même : $$\begin{aligned} \arg (-\overline{z}) & =\pi-\arg (z) \pmod {2\pi} \\ \arg (-z) & =\pi+\arg (z) \pmod {2\pi} \end{aligned}$$

$0\in\mathbb{C}$ n'a pas d'argument et est de module nul.
Les nombres réels positifs ont un argument nul et sont égaux à leur module. \[x\in\mathbb{R}^+ \implies x=x\cdot \text{cis}\left(0\right)=x\cdot \text{cis}\left(2\pi\right)\]
Les nombres réels négatifs ont un argument égal à $\pi$ et leur module est égal à leur valeur absolue. \[x\in\mathbb{R}^- \implies x=|x|\cdot \text{cis}\left(\pi\right)\]

Traduction des propriétés

Égalité : $ r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \iff r_1 = r_2 $ et $ \theta_1 = \theta_2 + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $

Nullité : $ r \cdot \text{cis}\left(\theta\right) = 0 \iff r = 0 $

complexe de module 1 : $ \text{cis}\left(\theta\right) $ représente un complexe de module 1

Conjugué : soit $ z= r \cdot \text{cis}\left(\theta\right) $
$ \overline{z} $ a pour représentant le symétrique de celui de $ z $ par rapport à l'axe polaire, donc a même module $ r $ et un argument opposé.
$ \overline{z} = r \cdot \text{cis}\left(-\theta\right) $

Opposé : soit $ z= r \cdot \text{cis}\left(\theta\right) $
$ -z $ a pour représentant le symétrique de celui de $ z $ par rapport à $ 0 $, donc a même module $ r $ et un argument augmenté de $ \pi $.
dès lors, $ -z = r \cdot \text{cis}\left(\theta + \pi\right) $

Addition : $ r_1 \cdot \text{cis}\left(\theta_1\right) + r_2 \cdot \text{cis}\left(\theta_2\right) $ ne se réalise pas facilement dans ce point de vue

Produit : $ r_1 \cdot \text{cis}\left(\theta_1\right) \cdot r_2 \cdot \text{cis}\left(\theta_2\right) = r_1 \cdot r_2 \cdot \text{cis}\left(\theta_1+\theta_2\right)$ voir le détail

→ Voir Méthodes et savoir-faire pour maîtriser les notions de modules et d'arguments des nombres complexes à travers des exercices auto-corrigés.