Lieux géométriques dans \(\mathbb C\) : exercices

Exercice 1 : A tout nombre complexe $z \neq-2$, on associe le nombre complexe $z^{\prime}$ défini par : $$z^{\prime}=\frac{z-4 \mathrm{i}}{z+2}$$ L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left|z^{\prime}\right|=1$ est :

  1. un cercle de rayon 1
  2. une droite
  3. une droite privée d'un point
  4. un cercle privé d'un point

Solution

Solution

\begin{align} \left|z^{\prime}\right|=1 &\iff \left|\frac{z-4 \mathrm{i}}{z+2}\right|=1\\ &\iff \left|z-4 \mathrm{i}\right|=\left|z+2\right|\\ &\iff \left|x+y\mathrm{i} - 4 \mathrm{i}\right|=\left|x+y\mathrm{i} +2\right|\\ &\iff x^2+(y-4)^2=(x+2)^2+y^2\\ &\iff x+2y-3=0 \end{align} L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left|z^{\prime}\right|=1$ est une droite privée du point \(\left(2,\frac{1}{2}\right)\)

Exercice 2 : Dans le plan complexe, les points \( C \) et \( D \) ont pour affixes respectives \( 1 + 4i \) et \( 2 - i \).

  1. Calculer la distance \( CD \).
  2. Soit \( A \) d’affixe \( z \), un point du cercle de centre \( O \) et de rayon 3. Calculer \( z \cdot \overline{z} \).


Solution

Solution

orem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nullam commodo lorem tellus, ac convallis nibh mollis eget. Fusce rutrum facilisis orci. Nulla non augue fringilla, pulvinar urna sit amet, tincidunt eros. Donec iaculis libero sit amet leo placerat tempor. Nullam tempor lacus in ligula scelerisque faucibus et sit amet odio. Donec convallis elementum ante ut accumsan. Quisque vehicula in nisl nec luctus. Proin dictum lacinia eros, et mattis magna lobortis non. In hendrerit neque non purus posuere fringilla. Phasellus non efficitur ligula, at elementum sem. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Nunc cursus nulla eget nunc varius vulputate. Pellentesque in porta turpis. Maecenas sit amet ipsum iaculis, semper urna sit amet, hendrerit neque.

Exercice 3 : Déterminer l’ensemble des points \( M \) d’affixe \( z \) tels que :

  1. \( |z - 1 - 4i| = 2 \)
  2. \( |z - 1 - 4i| = |z - 2 + i| \)
  3. \( |z - (2 + 3i)| = 1 \)
  4. \( |z - i| = |z - (1 + 2i)| \)
  5. \( |z - 12| = \frac{5}{3} |z - 8i| \)


Solution

Solution

orem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nullam commodo lorem tellus, ac convallis nibh mollis eget. Fusce rutrum facilisis orci. Nulla non augue fringilla, pulvinar urna sit amet, tincidunt eros. Donec iaculis libero sit amet leo placerat tempor. Nullam tempor lacus in ligula scelerisque faucibus et sit amet odio. Donec convallis elementum ante ut accumsan. Quisque vehicula in nisl nec luctus. Proin dictum lacinia eros, et mattis magna lobortis non. In hendrerit neque non purus posuere fringilla. Phasellus non efficitur ligula, at elementum sem. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Nunc cursus nulla eget nunc varius vulputate. Pellentesque in porta turpis. Maecenas sit amet ipsum iaculis, semper urna sit amet, hendrerit neque.

Exercice 4 : Les points A, B, C ont pour affixes respectives \(z_A = -4\), \(z_B = -1 + i\sqrt{3}\) et \(z_C = -1 - i\sqrt{3}\). Montrer que le triangle ABC est équilatéral.


Solution

Solution

\( AB = |z_B - z_A| = |-1 + i\sqrt{3} + 4| = |3 + i\sqrt{3}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)

\( AC = |z_C - z_A| = |-1 - i\sqrt{3} + 4| = |3 - i\sqrt{3}| = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)

\( BC = |z_C - z_B| = |-1 - i\sqrt{3} + 1 + i\sqrt{3}| = |-2i\sqrt{3}| = 2\sqrt{3} \) le module d’un imaginaire pur est égal à la valeur absolue de sa partie imaginaire

on a AB = AC = BC et le triangle ABC a ses trois côtés de même longueur : c’est un triangle équilatéral.