on recherche la raison de la suite arithm. : $r=\frac{a_{22}-a_{16}}{22-16} = \frac{6-4}{6} = \frac13$

puis on calcule les valeurs de $a_{12}$ et $a_{27}$ :

$a_{12}=a_{16}+(12-16).\frac13 \implies a_{12}=4-\frac43 = \frac83$

$a_{27}=a_{16}+(27-16).\frac13 \implies a_{27}=4+\frac{11}{3} = \frac{23}{3}$

$$\begin{aligned} S=\sum_{i=12}^{27} a_i &=a_{12}+u_{13}+\ldots+u_{27}\\ &=\frac{(a_{12}+a_{27})(27-12+1)}{2}\\ &=\frac{(\frac83+\frac{23}{3})\cdot 16}{2}\\ &=\frac{248}{3} \end{aligned}$$

la longueur des échelons décroît uniformément, ce qui implique que l'on peut modéliser celle-ci via une suite arithmétique nommée $\left(\ell_n\right)_{n\geq 1}$.

Puisque $\ell_1=48$ et $\ell_9=36$, on a : $r=\frac{\ell_9-\ell_1}{9-1}=\frac{-12}{8}=-\frac32$.

(1) Le énième échelon aura pour longueur : $\ell_n=\frac{99}{2}-\frac32\cdot n$

(2) On fabrique tous les échelons en les coupant dans une seule barre de bois dont la longueur $L$ est à calculer. On a : $L=\sum\limits_{k=1}^{9} \ell_k = 9 \cdot \frac{\ell_1+\ell_9}{2}={378} \text{ cm}$

suite arithmétique de raison -250 et de premier terme 40000.

le nombre d'unités produites après 1 mois est $u_1=40000$, le nombre d'unités produites après 2 mois est $u_2=40000-250=39750$

le nombre d'unités produites après 3 ans (36 mois) est $u_{36}=40000-35\cdot 250=31250$.

l'entreprise sera à l'arrêt lorsque $u_n \leq 0$ c'est-à-dire lorsque \[40000+(n-1)(-250)\leq 0 \Leftrightarrow n \geq 161\] cela veut dire que $u_{161}=0$~ ou encore que l'entreprise ne produit plus rien pendant le 161\ieme{} mois. L'entreprise sera donc active pendant 160 mois.

Coût du forage du $n^{\text{ème}}$ mètre : $c_n = 8n+152$

Le coût total pour n mètres sera la somme des n premiers termes de cette suite. La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par: \[S_n = \frac{c_1+c_n}{2}\cdot n \iff S_n = \frac{160+8n+152}{2}\cdot n\] \[S_n = 4n^2+156n\]

Il suffit de résoudre $4n^2+156n=87880$ ou mieux $n^2+39n-21970=0$

On trouve $n=130 \mathrm{~m}$

Il ne s'agit pas d'un Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) car la distance parcourue par le cycliste n'est pas constante à chaque intervalle de temps. Puisque la distance parcourue augmente de manière constante à chaque seconde, il s'agit d'un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA).

La distance parcourue par le cycliste forme une suite arithmétique. Le premier terme est \(d_1 = 1,2 \mathrm{~m}\) et la raison (l'augmentation constante) est \(r = 1,5 \mathrm{~m}\).

La formule pour le n-ième terme d'une suite arithmétique est : \[ d_n = d_1 + (n-1) \times r \iff d_n = 1,5n-0,3\]

La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par : \[ S_n = \frac{d_1+d_n}{2} \times n \] \[ S_n = 0,75n^2+0,45n \]

Pour 11 secondes \((n = 11)\), on obtient : $S_{11}=95,7 \mathrm{~m}$

Le cycliste a donc parcouru une distance totale de 95,7 mètres en 11 secondes.

$u_0=2100$

On ajoute le même nombre de livres au nombre de livres imprimés au mois précédent pour obtenir celui du mois suivant, on est en présence d'une suite arithmétique de raison $r=250$.

formule explicite : $u_n=2100+250\cdot n$

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 0 & 1 & 2 & \ldots & 13 & 14 \\ \hline \text{mois/année} & 11/2005 & 12/2005 & 01/2006 & \ldots & 12/2006 & 01/2007 \\ \hline u_n & 2100 & 2350 & 2600 & \ldots & 5350 & 5600 \\ \hline \end{array} \]

$S=u_2+\ldots+u_{13}=\dfrac{u_2+u_{13}}{2}\cdot \left(13-2+1\right) = {47700}$

on recherche $n\in \mathbb{N}$ vérifiant $u_n+\ldots+u_{n+11}\geq 200000$

$$\begin{aligned}[t] u_n+\ldots+u_{n+11}\geq {200000} & \iff \dfrac{u_n+u_{n+11}}{2}\cdot 12 \geq 200000 \\ & \iff \dfrac{2100+250n+2100+250{\left(n+1\right)}}{2}\cdot 12 \geq 200000 \\ & \iff 41700+3000n \geq 200000 \\ & \iff n \geq 52,766... \\ \end{aligned}$$

La production de livres sur une période de 12 mois est supérieure à $200\,000$ livres à partir du rang $53$. Ce rang $53$ ne correspond pas à une période-année allant de janvier à décembre puisqu'il correspond au mois d'avril 2010.

La production demandée sera donc supérieure à 200000 livres à partir de janvier 2011.

Vérification : $$\begin{aligned}[t] S_{2010} = u_{50}+\ldots+u_{61} = {191700}\\ S_{2011} = u_{62}+\ldots+u_{73} = {227700} \end{aligned}$$

Rappelons tout d'abord la propriété suivante : $ u_n = u_1 + (n-1).r $

Par conséquent, $-4 = u_1 + (n-1)(-3)$ ou encore $u_1 = 3n-7$.

De plus, l'énoncé correspond à l'équation $121 = \frac{n(u_1+(-4))}{2}$

Remplaçons $u_1$ par $3n-7$ et nous obtenons une équation du second degré en $n$. $$ 3n^2-11n-242=0 $$

Nous retiendrons naturellement la solution positive n=11. Finalement, $u_1 = 3 \times 11 - 7 = 26$

a) Appelons $m$ le numéro de la dernière page lue par Jean.

\begin{align*} S=1+2+3+ \cdots +m=351 &\iff \dfrac{m(m+1)}{2}=351 \\ &\iff m^2+m-702=0 \\ &\iff m=-27 \notin \mathbb{N} \quad \textrm{ou} \quad m=26 \\ \end{align*}

$m$ étant positif, on en déduit que la dernière page lue par Jean est la page $26$. Il est donc à la page $27$.

b) Appelons $k$ le nombre total de pages du livre.

$S'=27+28+\cdots+k$ est la somme des $k-27+1=k-26$ termes consécutifs d'une suite arithmétique, le premier étant $27$ et le dernier étant $k$.

\begin{align*} S'=27+28+\cdots+k &\iff \dfrac{(27+k)(k-26)}{2}=469 \\ &\iff k^2+k-1\,640=0 \\ &\iff k=-41 \notin \mathbb{N} \quad \textrm{ou} \quad k=40 \\ \end{align*}

Le livre contient $40$ pages.

a) Soit $u_1$ le prix du premier livre (le moins cher) et $u_{31}$ le prix du dernier livre (le plus cher). On a $u_{n+1}=u_n+0,5$. La suite $\left(u_n\right)_{n\in \mathbb{N}_0}$ est une suite arithmétique.

On dit aussi que le prix du livre le plus cher vaut le prix du livre du milieu $u_{16}$ plus celui d'un de ses voisins; soit donc $u_{15}$ (celui de gauche) ou $u_{17}$ (celui de droite).

• si c'est celui de gauche, alors : $u_{31} = u_{15} + u_{16} \iff u_1+30r = 2u_1+29r \iff u_1=0,5$
• si c'est celui de droite, alors : $u_{31} = u_{16} + u_{17} \iff u_1+30r = 2u_1+31r \iff u_1=-0,5$

Le prix d'un livre n'étant pas négatif, le livre voisin est celui de gauche.

b) $u_{31} = 15,5$ euros

c) $u_{16} = 8$ euros