Suites/Séries numériques : exercices supplémentaires

1) Déterminer la raison et le premier terme $u_1$ d'une suite arithmétique vérifiant $u_7+u_8+u_9=12$ et $u_4+u_8=-4$

Solution

$u_1=-17$ et $r=3$

2) Déterminer la raison et le premier terme $u_1$ d'une suite géométrique vérifiant $u_7\cdot u_8\cdot u_9=13\ 824$ et $u_7+u_8+u_9=-36$

Solution

$u_1=-\dfrac{3}{16}$ et $q=-2$

3) On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 400$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 0,9u_n + 60$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$.
Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a l'inégalité $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600$.
Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente.
Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$. Justifier.

Solution

Calculons : $u_1 = 0,9 \times u_0 + 60 = 0,9\times 400 + 60 = 420$ puis : $u_2= 0,9 \times u_1 + 60 = 0,9\times 420 + 60 = 438$.
Avec ces premiers termes calculés (et en regardant les termes suivants à la calculatrice), la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ semble être croissante.
Pour tout entier naturel $n$, on nomme $I_n$ l'inégalité : $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600$.
Démontrons par récurrence sa véracité :
Initialisation : pour $n = 0$, on a $u_0 = 400$ et $u_{0+1} = u_1 = 420$. À l'indice 0, on a donc effectivement : $0\leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 600 $ : l'inégalité $I_0$ est vraie.
Hérédité : Pour un entier naturel $n$ quelconque, on suppose que l'inégalité $I_n$ est vraie. On a :

\[\begin{aligned} I_n &\implies 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600\\ &\implies 0\times 0,9 \leqslant u_n \times 0,9 \leqslant u_{n+1}\times 0,9 \leqslant 600\times 0,9 \qquad \text{car }0,9>0\\ &\implies 0 + 60 \leqslant 0,9u_n + 60 \leqslant 0,9u_{n+1} + 60 \leqslant 540 + 60 \qquad \text{en ajoutant 60 à chaque membre}\\ &\implies 60 \leqslant u_{n + 1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 600 \qquad \text{avec la relation de récurrence de la suite } (u_n)\\ &\implies 0 \leqslant u_{n + 1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 600 \qquad \text{par transitivité, car } 0 \leqslant 60\\ &\implies I_{n+1} \\ \end{aligned} \]

La véracité de l'inégalité est donc héréditaire.
Conclusion : L'inégalité est vraie à l'indice 0, et pour tout indice $n$ entier naturel, la véracité est héréditaire. En vertu du principe de récurrence, on peut donc conclure que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 600$.
Tirons les conclusions de la question précédente pour la suite. On a :
$\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leqslant u_{n+1}$. Autrement dit : la suite est croissante.
$\forall n \in \mathbb{N}, 0\leqslant u_n \leqslant 600$. Autrement dit : la suite est bornée par 0 et 600.
La suite $(u_n)$ est donc croissante et majorée par 600, et donc, d'après le théorème de convergence monotone, elle est convergente, vers une limite $\ell$, qui vérifie ici : $0 \leqslant \ell \leqslant 600$.
Posons $f$, la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 0,9x + 60$.
La suite $(u_n)$ est donc définie par récurrence, et la fonction de récurrence est la fonction $f$, définie ci-dessus. Or, la suite est convergente (d'après la question précédente) et la fonction est continue sur $\mathbb{R}$ (c'est une fonction affine). En vertu du théorème du point fixe, la limite $\ell$ de la suite est une des solutions à l'équation $f(x) = x$. Comme $f$ est une fonction affine, de coefficient directeur $0,9 \neq 1$, les droites d'équations $y = f(x)$ et $y=x$ sont donc sécantes, en un seul point, donc l'équation n'a qu'une seule solution, et on a déjà identifié une solution évidente : $f(600) = 600$, donc 600 est la seule solution de l'équation. Donc $\ell = 600$. La suite $(u_n)$ converge vers 600.

Source Corrige__Asie_spe_J1_23_mars_2023_FK.tex

4) On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=3\\ u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{4u_n}\quad,\qquad\forall n\in\mathbb{N} \end{array} \right. $

et la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $ v_n=\dfrac{1}{u_n-\frac{1}{2}}$.

a) Calculer $u_3$ et $v_3$.

Solution

$u_1 = \dfrac{4u_0-1}{4u_0}= \dfrac{11}{12}$; $u_2 = \dfrac{4u_1-1}{4u_1}=\dfrac{8}{11}$; $u_3 = \dfrac{4u_2-1}{4u_2}=\dfrac{21}{32}$

$v_3 = \dfrac{1}{u_3-\frac{1}{2}} = \dfrac{32}{5}$

b) Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

Solution

$$\begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= \frac{1}{u_{n+1}-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{\tfrac{4u_n-1}{4u_n}-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\ &= \frac{1}{\tfrac{4u_n-1}{4u_n}-\tfrac{2u_n}{4u_n}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\ &= \frac{1}{\tfrac{2u_n-1}{4u_n}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}} \\ &= \frac{4u_n}{2u_n-1}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}\\ &= \frac{2u_n}{u_n-\tfrac{1}{2}}-\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}} \\ &= \frac{2\left(u_n-\tfrac{1}{2}\right)}{u_n-\tfrac{1}{2}} = 2 \end{aligned}$$

La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{5}$

et de raison $r=2$.

c) En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.

Solution

D'après ce qui précède, $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty$ car $r>0$, d'où : \[ \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}=+\infty \iff \lim_{n\to+\infty} \left(u_n-\frac{1}{2}\right)=0 \iff {\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac{1}{2}} \] Autre méthode : on sait que $v_n = \frac25+2\cdot n$, d'où \[ v_n=\dfrac{1}{u_n-\frac{1}{2}} \iff u_n = \dfrac{2+v_n}{2v_n}\\ \iff u_n = \dfrac{\frac{6}{5}+ n}{\frac25+2\cdot n} \]

\[\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\frac{6}{5}+ n}{\frac25+2\cdot n} = \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2\cdot n} = \dfrac12\]