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Exercices supplémentaires : Suites/Séries numériques

Exercice 1 : Déterminer la raison et le premier terme u1 d'une suite arithmétique vérifiant u7+u8+u9=12 et u4+u8=4

Solution

Solution

u1=17 et r=3

Exercice 2 : Déterminer la raison et le premier terme u1 d'une suite géométrique vérifiant u7u8u9=13 824 et u7+u8+u9=36

Solution

Solution

u1=316 et q=2

Exercice 3 : On considère la suite (un)nN définie par u0=400 et pour tout entier naturel n : un+1=0,9un+60.

  1. Calculer u1 et u2.
  2. Conjecturer le sens de variation de la suite (un)nN.
  3. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a l'inégalité 0unun+1600.
  4. Montrer que la suite (un)nN est convergente.
  5. Déterminer la limite de la suite (un)nN. Justifier.

Solution

Solution

  1. Calculons : u1=0,9×u0+60=0,9×400+60=420 puis : u2=0,9×u1+60=0,9×420+60=438.
  2. Avec ces premiers termes calculés (et en regardant les termes suivants à la calculatrice), la suite (un)nN semble être croissante.
  3. Pour tout entier naturel n, on nomme In l'inégalité : 0unun+1600.
    Démontrons par récurrence sa véracité :
    Initialisation : pour n=0, on a u0=400 et u0+1=u1=420. À l'indice 0, on a donc effectivement : 0u0u1600 : l'inégalité I0 est vraie.
    Hérédité : Pour un entier naturel n quelconque, on suppose que l'inégalité In est vraie. On a :

    In0unun+16000×0,9un×0,9un+1×0,9600×0,9car 0,9>00+600,9un+600,9un+1+60540+60en ajoutant 60 à chaque membre60un+1un+2600avec la relation de récurrence de la suite (un)0un+1un+2600par transitivité, car 060In+1

    La véracité de l'inégalité est donc héréditaire.
    Conclusion : L'inégalité est vraie à l'indice 0, et pour tout indice n entier naturel, la véracité est héréditaire. En vertu du principe de récurrence, on peut donc conclure que, pour tout entier naturel n, on a : 0unun+1600.

  4. Tirons les conclusions de la question précédente pour la suite. On a :
    nN,unun+1. Autrement dit : la suite est croissante.
    nN,0un600. Autrement dit : la suite est bornée par 0 et 600.
    La suite (un) est donc croissante et majorée par 600, et donc, d'après le théorème de convergence monotone, elle est convergente, vers une limite , qui vérifie ici : 0600.
  5. Posons f, la fonction définie sur R par f(x)=0,9x+60.
    La suite (un) est donc définie par récurrence, et la fonction de récurrence est la fonction f, définie ci-dessus. Or, la suite est convergente (d'après la question précédente) et la fonction est continue sur R (c'est une fonction affine). En vertu du théorème du point fixe, la limite de la suite est une des solutions à l'équation f(x)=x. Comme f est une fonction affine, de coefficient directeur 0,91, les droites d'équations y=f(x) et y=x sont donc sécantes, en un seul point, donc l'équation n'a qu'une seule solution, et on a déjà identifié une solution évidente : f(600)=600, donc 600 est la seule solution de l'équation. Donc =600. La suite (un) converge vers 600.

Source Corrige__Asie_spe_J1_23_mars_2023_FK.tex

Exercice 4 : On considère la suite (un) définie par : {u0=3un+1=4un14un,nN

et la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : vn=1un12.

a) Calculer u3 et v3.

Solution

Solution

u1=4u014u0=1112; u2=4u114u1=811; u3=4u214u2=2132

v3=1u312=325


b) Montrer que (vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

Solution

Solution

vn+1vn=1un+1121un12=14un14un121un12=14un14un2un4un1un12=12un14un1un12=4un2un11un12=2unun121un12=2(un12)un12=2

La suite (vn) est donc arithmétique de premier terme v0=1u012=25

et de raison r=2.


c) En déduire limn+un.

Solution

Solution

D'après ce qui précède, limn+vn=+ car r>0, d'où : limn+1un12=+limn+(un12)=0limn+un=12 Autre méthode : on sait que vn=25+2n, d'où vn=1un12un=2+vn2vnun=65+n25+2n

limn+un=limn+65+n25+2n=limn+n2n=12