Soit $q$ un nombre réel. On appelle suite géométrique de raison $q$ toute suite définie par son premier terme et pour tout entier naturel $n$ par la relation de récurrence : $v_{n+1}=q \times v_n$.
Le réel $q$, non nul et différent de 1, est appelé la raison de la suite géométrique.
Si $v_0$ est le premier terme de la suite, on écrira : \[ \bbox[lightyellow,5px]{(v_n)_{n\in\mathbb{N}} : \begin{cases} v_0 \in \mathbb{R} \\ v_{n+1} = q \times v_n \end{cases}} \]
Si $v_1$ est le premier terme de la suite, on écrira : \[ \bbox[lightyellow,5px]{(v_n)_{n\in\mathbb{N}_0} : \begin{cases} v_1 \in \mathbb{R} \\ v_{n+1} = q \times v_n \end{cases}} \]
Si $(v_n)_n$ est une suite géométrique de raison $q$ et :
De manière plus générale, si $p$ et $n$ sont des entiers naturels tels que $p<n$, on a : $v_n=v_p \cdot q^{n-p}$
Une suite $(v_n)_n$ est géométrique si pour tout entier $n$, le quotient $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ est constant. Sa valeur est alors la raison $q$ de la suite.
Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut calculer (manipuler algébriquement) le quotient entre les termes consécutifs de la suite, c'est-à-dire $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$. Si ce quotient est constant pour tous les $n$, alors la suite est géométrique.
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq1$ et $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que $0\leqslant p \leqslant n$.
\[\sum_{i=p}^n v_i=v_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}\]
En particulier, en posant $p=0$, on obtient :
\[ \sum_{i=0}^n v_i=v_0+v_1+\ldots+v_n=v_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \]
En particulier, en posant $p=1$, on obtient :
\[ \sum_{i=1}^n v_i=v_1+\ldots+v_n=v_1\frac{1-q^{n}}{1-q} \]
Moyen mnémotechnique : \[ \sum_{i=1}^n v_i= \text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \]