Convergence des suites et des séries géométriques
Le paradoxe de Zénon est un problème classique de la philosophie antique qui soulève des questions sur le mouvement, l'infini et la nature du temps. Voici une version simplifiée du texte que vous avez fourni :
“Zénon argumente que si une pierre est lancée vers un arbre situé à huit mètres, elle doit d'abord parcourir la moitié de cette distance, puis la moitié de la distance restante, et ainsi de suite, à l'infini. Malgré chaque étape prenant un temps non nul, la pierre semble ne jamais atteindre l'arbre. Toutefois, la compréhension moderne du mouvement continu montre que malgré une division à l'infini de l'espace, le mouvement est possible. L'analyse moderne résout ce paradoxe en démontrant qu'une somme infinie de distances peut avoir une valeur finie.”
Reprenons ce paradoxe en remplaçant les huit mètres de distance par une unité de longueur. Et demandons-nous comment sommer une infinité de termes.
Il est vrai qu'additionner à l'infini des termes semble très abstrait. Et pourtant!
A chaque passage, on avance de la moitié du chemin restant. Le problème consiste donc à trouver la somme infinie de : \[\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \ldots\]
On utilise la notation $\sum$ (prononcer sigma, ou somme), qui s'utilise de cette façon : \[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \ldots\]
Éviter les points de suspension offre une présentation plus formelle et rigoureuse.
Pas besoin d'une expertise approfondie en mathématiques pour aborder ce problème. Exposons-le simplement.
Prenons \( S \) comme étant la somme \( \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots \)
Lorsque l'on factorise la somme par \( \frac{1}{2} \), nous avons : \[ S = \frac12 \left( 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \ldots \right) \]
Remarquablement, cette expression contient la somme \( S \) elle-même à l'intérieur du parenthèses. Ce qui donne l'équation : \[ S = \frac12 \left( 1 + S \right) \] De cette équation, nous trouvons : \[ S = 1 \]
En conclusion, la somme infinie est égale à 1 : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = 1 \] Cette égalité n'est pas une approximation mais une égalité exacte.
Maintenant, comment aborde-t-on généralement une somme infinie? Une somme infinie, \( u_0 + u_1 + \ldots \), est définie comme la limite de ses sommes partielles, si cette limite existe. Par exemple : \[\begin{aligned} S_0 &= u_0 \\ S_1 &= u_0+u_1 \\ S_2 &= u_0+u_1+u_2 \\ \vdots & \end{aligned}\]
On utilise la notation : \( \displaystyle S_n = \sum_{i=0}^{n} u_i \) et \[ \bbox[lightblue,10px] {S = \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k \quad } \]