Exercice 1 : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ (à vérifier !) par $f(x)=\dfrac{5x-3}{x^2+x+1}$. On note $\mathcal{G}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
n° 1.1 : On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, calculer $f'(x)$.
n° 1.2 : Étudier les variations de la fonction $f$.
n° 1.3 : Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $-\frac{3}{2}$.
n° 1.4 : Représenter la tangente $T$ sur le graphique ci-dessous.
Exercice 2 : Soit $f : x \mapsto x^3+x^2-x$.
n° 2.1 : Déterminer les variations de $f$.
n° 2.2 : Déterminer l'équation de $\mathcal{T}$, tangente à $\mathcal{C}_f$ en $a=0$.
n° 2.3 : On souhaite étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{T}$.
Exercice 3 : Même consigne qu'à l'exercice précédent avec la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = \dfrac{x}{x^2+1} \quad \text{et} \quad a = 0.\]
Exercice 4 : Même consigne qu'à l'exercice précédent avec la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = 3x^5 - 2x^3 + x \quad \text{et} \quad a = 0.\]
Exercice 5 : Même consigne qu'à l'exercice précédent avec la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -1 \right\rbrace$ par : \[f(x) = \dfrac{1}{1+x^3} \quad \text{et} \quad a = 1.\]
Exercice 6 : Même consigne qu'à l'exercice précédent avec la fonction définie sur $\mathbb{R}^+_0$ par : \[f(x) = x - \dfrac{2}{\sqrt{x}} \quad \text{et} \quad a = \dfrac{9}{4}.\]
Exercice 7 : Étudier la fonction $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \: ; \: x \mapsto \frac{2x+1}{x^2-2x+5}$
Exercice 8 : Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \: ; \: x \mapsto (1-x) \sqrt{1-x^2}$. Donner le domaine de f, dresser le tableau de variation de f; on y précisera $f(0)$. Etudier la dérivabilité au bord du domaine. Conclure.
Exercice 9 : Soit $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2\left(x-1\right)}$
Exercice 10 : On considère la fonction \textit{f} définie par $f(x)=x\cdot\sqrt{x-x^2}$
Exercice 11 : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par l'expression $f: x \longmapsto 2 x^{3}-x-6$ et $k \in \mathbb{R}^{+}$. Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$ est :
Exercice 12 : Considérons le polynôme $f: x \longmapsto 4-(x+1)^{2}$. Quelle est l'image de l'intervalle $[-3 ; 0]$ par $f$ ?
Exercice 13 : Jules affirme que “La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{x}{x^{2}+2}$ n'admet pas de tangente parallèle à la droite d'équation $y=-\frac{1}{4} x$”. Vrai ou faux ? Justifier.
Exercice 14 : Soit la fonction $f$ définie par : $$ f(x)=\frac{x^{5}}{5}-\frac{9 x^{4}}{4}+3 x^{3}+\frac{85}{2} x^{2}-150 x $$
n° 14.1 : Etudier les variations de $f$. (piste : utiliser Hörner pour déterminer les racines de $f'$)
n° 14.2 : Etudier la concavité de $f$. (piste : utiliser Hörner pour déterminer les racines de $f''$)
n° 14.3 : En déduire la coordonnée des points critiques éventuels en n'oubliant pas de les nommer.
n° 14.4 : Trouver la coordonnée du point d'intersection des tangentes à $\mathcal{C}_f$ aux points d'abscisse $0$ et $3$.
Exercice 15 : La fonction $f(x)=\dfrac{2 x^{2}-5 x-3}{|x|+1}$ est-elle dérivable en $0$ ? Déterminer le type de point critique en $0$. Justifier.
Exercice 16 : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par l'expression $f(x)=x^{3}-3 x-1$. Combien de solutions l'équation $f(x)=0$ possède-t-elle sur $\mathbb{R}^{+}$ ? Justifier.