Les théorèmes de Lagrange et de Rolle

La continuité des fonctions est un critère essentiel à respecter dans le cadre des théorèmes de Lagrange et de Rolle

Théorème des accroissements finis ou théorème de Lagrange

Si $ f $ est une fonction continue dans $ [a,b] $, dérivable dans $ ]a,b[ $ alors \[ \exists c \in ]a,b[ : \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \]

Interprétation géométrique : Lorsque les hypothèses du théorème sont satisfaites, il existe c dans ]a,b[ tel que la tangente au point d’abscisse c de la courbe est parallèle à la droite passant par les points d’abscisse a et b de cette courbe.

code source de l'image

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->,>=latex, black, very thin] (-0.5,0) -- (3.3,0);
\draw[->,>=latex, black, very thin] (0,-0.5) -- (0,2.8);
\draw[domain=0.3:2.32,black,thick,smooth] plot (\x,{1.7-0.3*\x+0.8*cos((0.2+2.1*\x) r)});
\draw[red!80!black,very thick] (0.3,0)--(2.32,0);
\coordinate (A) at (0.3,2.15);
\fill (A) circle (1.5pt) node[above] {$A$};
\coordinate (B) at (2.32,1.31);
\fill (B) circle (1.5pt)node[above] {$B$};
\draw (A)--(B)--+(1,-0.4158)--(A)--+(-1,+0.4158);
\coordinate (P) at (1.35,0.5);
\fill (P) circle (1.5pt);
\draw[->,>=latex,red!80!black,thick] (P)--+(0.7,{-0.7*0.4158}) ;
\draw[->,>=latex,red!80!black,thick] (P)--+(-0.7,{0.7*0.4158}) ;
\draw[dashed] (1.35,0) -- (P);
\fill[red!80!black] (1.35,0) circle (1.5pt) node[below] {$c$};
\fill[red!80!black] (0.3,0) circle (1.5pt) node[below] {$a$};
\fill[red!80!black] (2.32,0) circle (1.5pt) node[below] {$b$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Il permet de démontrer qu'une fonction dont la dérivée est positive est croissante.

Illustration physique : Si j'ai parcouru en voiture 50 km en une demi-heure, mon compteur a forcément indiqué à un instant donné que ma vitesse était de 100 km/h.

Théorème de Rolle

Si $ f $ est une fonction continue dans $ [a,b] $ et dérivable dans $] a, b[$ et si $f(a)=f(b)=0$, alors \[ \exists c \in ]a,b[ : f^{\prime}(c)=0 \] Le théorème de Rolle est un corollaire du théorème de Lagrange.

Interprétation géométrique : Lorsque les hypothèses du théorème sont satisfaites, il existe c dans ]a,b[ tel que la tangente au point d’abscisse c de la courbe est parallèle à l’axe des abscisses (un point où la tangente est horizontale).

code source de l'image

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{fourier,amssymb,amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
	\draw[->,>=latex, black, very thin] (-0.5,0) -- (3.3,0);
	\draw[->,>=latex, black, very thin] (0,-0.5) -- (0,2.5);
%	\draw[domain=-0.25:2.5,black,thick,smooth] plot (\x,{0.6+0.4*\x+0.6*cos(4*\x r)});
    \draw[domain=0.3:2.32,black,thick,smooth] plot (\x,{2.3-0.4*\x-0.6*cos(2*\x r)-0.3/(\x-3)^2-0.3/\x});
    \draw[dashed] (2.35,0.65)--(0,0.65)  node[left] {$f(a)=f(b)$} ;
	\draw[red!80!black,very thick] (0.3,0)--(2.32,0);
        \fill (0.3,0.65) circle (1.5pt);
        \fill (2.32,0.65) circle (1.5pt);
% 	\draw[dashed] (0.25,0) -- (0.25,1.5);
    \coordinate (P) at (1.4,1.97);
    \draw[->,>=latex,red!80!black,thick] (P)--+(.7,0) ;
    \draw[->,>=latex,red!80!black,thick] (P)--+(-0.7,0) ;
     	\draw[dashed] (1.4,0) -- (1.4,1.97);
        \fill[red!80!black] (1.4,0) circle (1.5pt) node[below] {$c$};
        \fill (1.4,1.97) circle (1.5pt);
        \fill[red!80!black] (0.3,0) circle (1.5pt) node[below] {$a$};
        \fill[red!80!black] (2.32,0) circle (1.5pt) node[below] {$b$};
\end{tikzpicture}
\end{document}