Théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$, et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution comprise entre $a$ et $b$.

Autrement écrit : $f$ étant une fonction continue dans $[a,b]$, tout réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ est l'image d'au moins un réel compris entre $a$ et $b$

Notes :

Le TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) assure, sous ces hypothèses, l'existence d'au moins un antécédent à $k$, mais il n'assure pas son unicité et ne permet pas de le calculer (sauf utilisation d'une méthode numérique).
La continuité est une hypothèse essentielle du théorème ! Si la fonction $f$ n'est pas continue, il est possible que pour un réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il n'existe aucune solution à l'équation $f(x)=k$ ! (voir fonction en escalier)
C'est un théorème d'existence qui ne fournit pas la valeur d'une solution. En effet, on l'utilise souvent pour démontrer l'existence d'une solution sans être en mesure de la déterminer de manière explicite.

Cas des fonctions continues strictement monotones : Théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires)

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a ;b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique.
- L'existence d'une solution vient du théorème des valeurs intermédiaires. L'unicité vient de la stricte monotonie.
Cas particulier : $k=0$, il suffit que $f(a)$ et $f(b)$ soient de signes contraires (pour que la condition “$k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$” soit remplie).
On peut remplacer l'intervalle $[a ; b]$ par un intervalle de la forme $[a~ ;~ +\infty[$ ou $]-\infty~ ;~ b]$. Dans ce cas, $f(a)$ et $f(b)$ sont remplacés par les limites aux bornes de l'intervalle.
Dans les conditions du théorème de la bijection, la fonction $f$ réalise une bijection de l'intervalle $[a~ ;~ b]$ sur l'intervalle $f([a~ ;~ b])$ (qui vaut $[f(a)~ ;~ f(b)]$ ou $[f(b)~ ;~ f(a)]$ suivant que $f$ est croissante ou décroissante.).