John Napier inventa en 1617 les logarithmes, du grec logos (rapport, raison) et arithmos (nombre), et une méthode de calcul transformant les multiplications en additions.

La fonction exponentielle transforme une somme en produit, sa fonction réciproque, la fonction logarithme népérien transforme un produit en somme.

\[ \begin{array}{ll|c} \textrm{Exemple : } & \log_2\left(8\right) = \log_2\left(2^3\right) = 3 & \log_{1/2}\left(8\right) = \log_{1/2}\left((1/2)^{-3}\right) = -3 \\[1em] ~ & 3^{\log_3 \left(2\right)} = 2 & 3^{\log_3 \left(-2\right)} \neq -2 \\ ~ & ~ & \text{car } -2 \notin \text{dom}(\log_a) \\ \end{array} \]

La représentation graphique du logarithme admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.

Passage de la forme exponentielle à la forme logarithmique (et inversement) : \[ \bbox[lightyellow,5px] {x = a^y \Longleftrightarrow y=\log_a \left( x \right) \quad \textrm{ avec } \quad \boxed{x\in\mathbb{R}^+_0} } \]

Exemple : $64 = 2^6 \iff 6 = \log_2 64$ (se lit : six est le logarithme en base deux de soixante-quatre)

\begin{align*} \log_3(9x) &= \log_3 9 + \log_3 x\\ &= \log_3 \left(3^2\right) + \log_3 x\\ &= 2 + \log_3 x \end{align*}

La fonction continue $\log_a$ est

Les équivalences suivantes en découlent.

Pour tous réels $x_1,x_2\in\mathbb{R}_0^+$ et $a\in\mathbb{R}_0^+ \setminus \left\lbrace 1 \right\rbrace$

Rappel : La fonction exponentielle qui est égale à sa dérivée est appelée fonction exponentielle népérienne (ou naturelle). On note \textbf{exp} cette fonction.

La base de cette fonction exponentielle particulière est notée \textbf{e} ($\mathbf{e}$ est appelé le nombre d'Euler) et vaut approximativement $2,718$

Pour que $\exp x = \exp' x$ ou encore $\textbf{e}^x = \left(\textbf{e}^x\right)^{\prime}$, il suffit de poser $\exp_{\textbf{e}}^{\prime}(0)=1$.

\[\bbox[pink,15px] {\exp_{\textbf{e}}^{\prime}(0)=\lim\limits_{h\to 0} \frac{\mathbf{e}^h-1}{h} = 1 \implies \mathbf{e} = \lim\limits_{h\to 0} \left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}}\] ou \[\bbox[lightyellow,5px] {\mathbf{e}=\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n }\]

Pour tout réel $x$ strictement positif :

• Logarithme népérien : $y=\ln \left( x \right) \Longleftrightarrow x = \mathbf{e}^y $
• Pour tout réel $x>0$ : ${\mathbf{e}^{\ln(x)}=x}$
• Pour tout réel $x$ : ${\ln(\mathbf{e}^{x})=x}$
• $\ln(1)=0$ et $\ln(\mathbf{e})=1$
• Logarithme décimal : $y=\log \left( x \right) \Longleftrightarrow x = 10^y $

Pour tout réel $a\in \mathbb{R}^+_0 \setminus \left\lbrace 1 \right\rbrace$ , on a $a = \mathbf{e}^{\ln a}$ et donc, \(\bbox[pink,15px] {\forall x\in \mathbb{R} : a^x =\left(\mathbf{e}^{\ln a}\right)^x= \mathbf{e}^{x\ln a}}\) (on note aussi : $\exp_a(x) = a^x$)

La fonction exponentielle de base $a$ est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[\bbox[pink,15px] {\exp_a : x \longmapsto a^x = \mathbf{e}^{x\ln a}}\] On démontre aisément que \[\bbox[pink,15px] {\left(a^x\right)' = a^x \cdot \ln a }\] via la dérivée d'une composition de deux fonctions.

On peut écrire la relation $y=\log_a x$ en fonction du logarithme népérien. On applique $\ln$ aux deux membres de la relation $a^y=x$ pour obtenir \[\bbox[pink,15px] {\ln\left(a^y\right)=\ln x \iff y\cdot \ln a = \ln x \iff y=\frac{\ln x}{\ln a}}\]

Conclusion : \[\bbox[lightblue,15px] { \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a} }\] et aussi, \[\bbox[lightblue,15px] { {\log_a x=\frac{\log x}{\log a}=\frac{\log_b x}{\log_b a}} }\]

Exemple : $\log x= \frac{\ln x}{\ln(10)}\approx 0,4343\ln x$

La fonction logarithme népérien est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^+_0$ et $$\bbox[pink,15px] {\forall x \in \mathbb{R}^+_0 ~:~ \left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}}$$ Il suffit de dériver l'égalité ${\mathrm{e}^{\ln(x)}=x}$ membre à membre pour démontrer cette propriété (théorème de dérivation des fonctions composées).

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+_0$ puisque sa dérivée est strictement positive sur $\mathbb{R}^+_0$.

La différence principale entre les divers types de logarithmes est la constante multiplicative. Il n'y a par conséquent aucune difficulté à dériver $\log_a$.

\[\bbox[pink,15px] {\left(\log_ax\right)'=\dfrac{1}{\ln a}\cdot\dfrac{1}{ x} \quad \textrm{ou} \quad \left(\log_ax\right)'= \dfrac{1}{x\cdot \ln a } \text{(voir monotonie)}}\]

Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. Alors la fonction $x\mapsto \ln\left(u\left(x\right)\right)$ est dérivable sur $I$ et

\[\bbox[lightblue,15px] {\left(\ln\left(u\left(x\right)\right)\right)' = \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}}\]

1. Limites aux bornes du domaine : $\bbox[lightgreen,5px] {\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \ln (x)=-\infty}$ et $\bbox[lightgreen,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \ln (x)=+\infty} $
2. Théorème de croissances comparées : $\bbox[lightgreen,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x}=0}$
3. Nombre dérivé en 1 : $\bbox[lightgreen,5px] {\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln (1+x)}{x}=1}$