Composition de deux fonctions

Composition de deux fonctions :

Soient deux fonctions $f$ et $g$. La fonction composée, notée $f \circ g$ et lue “$f$ rond $g$” ou “$f$ après $g$”, est la fonction définie par $$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$$

Le domaine de $f \circ g$ est constitué des valeurs de $x$ appartenant au domaine de $g$ telles que $g(x)$ appartienne au domaine de $f$.

Décomposer une fonction $f(x)$ consiste à déterminer deux fonctions définies par $z = g(x)$ et $y = h(z)$ telles que $f(x) = h\big(g(x)\big)$, c'est-à-dire telles que $f = h \circ g$. Une telle décomposition n'est pas forcément unique.

Exemple

Question : trouve l'expression analytique de $f$ sachant que $g(x) =3x-2$ et $f(g(x)) = 9x^2-3x+1$.

Solution :

soit donc $g(x)=3x-2$ et $f(g(x))=9x^2-3x+1$

On observe que $g$ est une fonction du premier degré, tandis que $f$ est quadratique. Cela signifie qu'il y aura un terme en $x^2$ dans l'expression de $f(g(x))$. On constate également que $(3x)^2=9x^2$. La mise au carré du terme en $x$ de $g(x)$ donne le terme du second degré dans $f(x)$. L'expression analytique de $f$ s'écrit donc : $$f(x)=x^2+bx+c$$

où $b$ et $c$ sont des paramètres réels encore à déterminer.

Pour trouver ces autres coefficients on compose $f$ après $g$, $$\begin{align*} f(g(x)) &= (3x-2)^2+b(3x-2)+c \\ &= 9x^2-12x+4+b(3x-2)+c \\ &= 9x^2+(3b-12)x-2b+c+4 \end{align*}$$ Il suffit maintenant d'identifier le coefficient du terme en $x$ et celui du terme indépendant. \[ \left\{ \begin{array}{r c l} 3b-12 &=& -3\\ -2b+c+4 &=& 1 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{r c l} b &=& 3\\ -2b+c+4 &=& 1 \end{array} \right.\iff \left\{ \begin{array}{r c l} b &=& 3\\ c &=& 3 \end{array} \right. \] On obtient donc l'expression analytique de $f(x)$, $$\boxed{f(x)=x^2+3x+3}$$