Primitives d'une fonction

en construction

Définition : Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ définie et dérivable sur $I$ telle que $F'=f$.

Exemple : Soit $f : x \mapsto 2x$ définie sur $\mathbb{R}$. Alors $F_1 : x \mapsto x^2$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. De même, $F_2 : x \mapsto x^2 + 1$ est aussi une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. On a $F_1' = F_2' = f$.

Remarque : On dit que $F$ est une primitive de $f$ et non pas la primitive de $f$ car une fonction admettant une primitive n'en admet pas une seule, comme le montre l'exemple ci-dessus.

Formules de Primitives

Primitives des fonctions usuelles (avec $ C \in \mathbb{R} $ une constante réelle)

Fonction	Primitives	Domaine
$ x^n$ avec $n \in \mathbb{N} $	$ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $	$ \mathbb{R} $
$ \frac{1}{x^n}$ avec $n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\} $	$ -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C $	$ ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ $
$ \frac{1}{x} $	$ \ln\|x\| + C $	$ \mathbb{R}_0 $
$ \frac{1}{\sqrt{x}} $	$ 2\sqrt{x} + C $	$ ]0, +\infty[ $
$ \mathbf{e}^x $	$ \mathbf{e}^x + C $	$ \mathbb{R} $
$ \cos(x) $	$ \sin(x) + C $	$ \mathbb{R} $
$ \sin(x) $	$ -\cos(x) + C $	$ \mathbb{R} $
$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $	$ \arcsin x $	$ ]-1,1[ $
$ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} $	$ \arcsin \left(\frac{x}{a}\right) $	$ ]-1,1[ $
$ \frac{1}{1+x^2} $	$ \arctan x $	$ \mathbb{R} $
$ \frac{1}{a^2+x^2}, a\neq 0 $	$ \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) $	$ \mathbb{R} $

Intégrales indéfinies

code source

notation.tex

\documentclass[tikz, margin=2mm]{standalone}
\usepackage{lipsum,bigints} % Cela peut être supprimé si vous n'utilisez pas lipsum dans le document standalone
\usetikzlibrary{arrows.meta, positioning, tikzmark}
\tikzset{
  is/.style = {inner ysep=3pt, fill=gray!15},
  blk/.style = {inner ysep=3pt},
  arr/.style = {-Straight Barb},
  brr/.style = {Straight Barb-Straight Barb},
  N/.style = {draw= red, fill=yellow!15, font=\footnotesize, text=blue},
}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[
  node distance = 4mm and 2mm,
  remember picture
]
\node (S) at (0,0) {\tikzmarknode[is]{S}{\(\bigintsss\)}};
\node[right=of S,xshift=-4mm] (A) {\tikzmarknode[blk]{A}{\(f(x)\)}};
\node[right=of A,xshift=-4mm] (B) {\(\tikzmarknode[is]{B}{dx}\)};
\node[right=of B,xshift=-4mm] (C) {\(=\tikzmarknode[blk]{C}{F(x)}+\)};
\node[right=of C,xshift=-4mm] (D) {\(\tikzmarknode[blk]{D}{C}\)};
%\node (a) [N,below left =of A]  {Intégrande};
\node (b) [N,below left=of B]  {Différentielle en $x$};
\node (dx) [N,below =of b]  {Variation infinitésimale de la variable x};
%\node (c) [N,above left =of C]  {Primitive principale de \(f(x)\)};
%\node (d) [N,above right=of D]  {Constante d'intégration};
\node (s) [N,left=of S,xshift=-.5cm]  {Signe d'intégration};
%\draw[arr]  (a) -| (A);
\draw[arr]  (b) -| (B);
%\draw[arr]  (c) -| (C);
%\draw[arr]  (d) -| (D);
\draw[arr]  (s) -- (S);
\draw[brr]  (b) -- (dx);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Formulaire

$ \displaystyle \int \mathrm{d}x = \int 1 \mathrm{d}x = x+k $
$ \displaystyle \int x^n \mathrm{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + k $ \quad avec $ k\neq-1 $
$ \displaystyle \int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln\left| x \right|+k $
$ \displaystyle \int \mathbf{a}^x \mathrm{d}x = \frac{\mathbf{a}^x}{\ln(\mathbf{a})}+C $
$ \displaystyle \int \mathbf{e}^x \mathrm{d}x = \mathbf{e}^x + C $
$ \displaystyle \int \sin x \mathrm{d}x = - \cos x + C $
$ \displaystyle \int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C $
$ \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \mathrm{d}x = \tan x + C $
$ \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}x = - \cot x + k $
$ \displaystyle \int \tan x \mathrm{d}x = - \ln | \cos x | +C $
$ \displaystyle \int \cot x \mathrm{d}x = \ln | \sin x | + C $
$ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \cdot \arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C $

Opérations

$ \displaystyle \int f(x) \pm g(x) \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d}x \pm \int g(x) \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \lambda \cdot f(x) \mathrm{d}x = \lambda \int f(x) \mathrm{d}x $

Intégrales définies

Les propriétés des intégrales définies sont essentielles pour simplifier les calculs d'intégration et pour comprendre la théorie sous-jacente. Voici quelques propriétés clés :

Linéarité : Pour toutes fonctions intégrables $ f $ et $ g $, et tous réels $ a $, $ b $ et $ c $ :

\[ \int_{a}^{b} \left(\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)\right)\mathrm{d}x = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x + \beta \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x. \]

Intervalle nul : Pour toute fonction intégrable $ f $, on a $ \int_{a}^{a} f(x)\mathrm{d}x = 0. $

Additivité de l'intervalle : *Relation de Chasles* Pour toutes fonctions intégrables $ f $, et tout $ c $ entre $ a $ et $ b $ : $ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x)\mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d}x. $

Inversion des bornes : Pour toute fonction intégrable $ f $, on a $ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = -\int_{b}^{a} f(x)\mathrm{d}x. $

Inégalité de l'intégrale : Si $ f(x) \geq g(x) $ pour tout $ x $ dans $ [a, b] $, alors : $ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x \geq \int_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x. $

Valeur absolue : Pour toute fonction intégrable $ f $, on a $ \displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x\right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)|\mathrm{d}x. $

Parité : Enfin, nous avons une propriété sur l'intégrale définie de fonctions paires et impaires sur un intervalle de la forme $ [-a; a] $.
- Pour les fonctions paires, c'est-à-dire vérifiant $ f(-x) = f(x) $, nous avons $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d}x. $
- Pour les fonctions impaires, c'est-à-dire vérifiant $ f(-x) = -f(x) $, nous avons $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 0. $

Méthode pour calculer une intégrale définie

Pour calculer une intégrale définie $\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x $, on recherche d'abord l'intégrale indéfinie (ou primitive) $ F(x) $ puis on calcule $ F(b)-F(a) $.

Le nombre (positif ou négatif) obtenu est $ \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x $. On notera aussi $ F(b)-F(a) $ par $ \displaystyle F(x) \big|_{a}^{b} $.

Calcul d'aire

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;b]$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal.

L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine situé entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

Autre configuration : changement de signe de la fonction

\[ \text{Aire hachurée} = - \int_{a}^{c} f(x)\mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x)\mathrm{d}x \]

Source Latex :

airehachuree.tex

\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{patterns}
\begin{document}
\def\a{-.3}
\def\x{2.4}
\def\b{5.7}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel={},
xlabel style={
%yshift=+7pt, 
%xshift=3cm,  % Décale l'étiquette vers la droite (si nécessaire)
},
xtick=\empty,ytick=\empty,
ylabel={},
height=4cm,
width=0.8\linewidth,
enlargelimits=true,
enlarge x limits={abs=3mm}, 
enlarge y limits={abs=1mm}, 
extra x ticks={\a,\x,\b},
extra x tick style={grid=major,
tick label style={
rotate=0,anchor=north east},yshift=0mm},
extra x tick labels={$a$,\color{red} $c$,$b$},
]
\addplot[red, thick, smooth, domain=\a:\x, pattern=north east lines, pattern color=lightgray] {(x^2+1-x^3/8)/5-1}\closedcycle;
\addplot[red, thick, smooth, domain=\x:\b, pattern=north east lines, pattern color=lightgray] {(x^2+1-x^3/8)/5-1}\closedcycle;
\addplot[black, ultra thick, smooth, domain=-1:7] {(x^2+1-x^3/8)/5-1} node[above] {$\mathcal{C}_f$};
%\node[fill=white, inner sep=0pt] at (axis cs:2.5,.35) {\(F(x)\)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Formule de la moyenne

La valeur moyenne d'une fonction $ f $ continue sur $ [a;b] $ est \[ \mu = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \]

Source Latex :

airehachuree.tex

\documentclass[tikz,border=5pt]{standalone}
\usetikzlibrary{arrows.meta, intersections, backgrounds, shapes.geometric, positioning, arrows.meta, positioning, tikzmark, patterns}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=newest}
\usepgfplotslibrary{fillbetween}
\begin{document}
\pgfmathdeclarefunction{poly}{0}{%
\pgfmathparse{-x^3+5*(x^2)-3*x-3}%
}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=.5]
\begin{axis}[
xmin=-2,
xmax=5,
ymin=-5,
ymax=10,
axis y line=left,
axis x line=bottom,
xtick={-1.2,2,4.2},
xticklabels={$a$,$c$,$b$},
ytick={3},
yticklabels={$\mu=f(c)$},
samples=160
]
\addplot[name path=poly,black,thick,mark=none,domain=-1.2:4.2,stack plots=y,color=black,very thick] {poly} node[right] {$\mathcal{C}_f$};
\addplot[name path=line,gray,no markers,line width=1pt,domain=-1.2:4.2,color=red] {3};
\addplot fill between[ 
of = poly and line, 
split, % calculate segments
every even segment/.style = {pattern=north east lines, pattern color=lightgray},
every odd segment/.style  ={pattern=north east lines, pattern color=lightgray}
];
\draw[help lines] (axis cs:-1.2,-5) -- (axis cs:-1.2,3);
\draw[help lines] (axis cs:2,-5) -- (axis cs:2,3);
\draw[help lines] (axis cs:4.2,-5) -- (axis cs:4.2,3);
\draw[help lines] (-2,3) -- (-1.2,3);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Fonction	Primitives	Domaine
\( x^n\) avec \(n \in \mathbb{N} \)	\( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)	\( \mathbb{R} \)
\( \frac{1}{x^n}\) avec \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\} \)	\( -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C \)	\( ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ \)
\( \frac{1}{x} \)	\( \ln\|x\| + C \)	\( \mathbb{R}_0 \)
\( \frac{1}{\sqrt{x}} \)	\( 2\sqrt{x} + C \)	\( ]0, +\infty[ \)
\( \mathbf{e}^x \)	\( \mathbf{e}^x + C \)	\( \mathbb{R} \)
\( \cos(x) \)	\( \sin(x) + C \)	\( \mathbb{R} \)
\( \sin(x) \)	\( -\cos(x) + C \)	\( \mathbb{R} \)
\( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)	\( \arcsin x \)	\( ]-1,1[ \)
\( \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \)	\( \arcsin \left(\frac{x}{a}\right) \)	\( ]-1,1[ \)
\( \frac{1}{1+x^2} \)	\( \arctan x \)	\( \mathbb{R} \)
\( \frac{1}{a^2+x^2}, a\neq 0 \)	\( \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) \)	\( \mathbb{R} \)