Table des matières

Techniques d'intégration

en construction

Calculer \(\int x\cdot \sqrt{1+x} \ \mathrm{d}x\) et \(\int x\cdot \sqrt{1+x^2} \ \mathrm{d}x\)

Solution

Solution

1. \(\int x \cdot \sqrt{1+x} \, \mathrm{d}x = \frac{2}{5} (1+x)^{5/2} - \frac{2}{3} (1+x)^{3/2} + C\)

2. \(\int x \cdot \sqrt{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3} (1+x^2)^{3/2} + C\)

Calculs d'aires

Soit \(f(x) = \frac{\ln^2 x}{x}\) dont le graphe est donné ci-dessous (esquisse). Calculer l'aire du domaine \(A_1\), qui correspond à l'aire sous la courbe de \(f(x)\) sur un intervalle fini, et l'aire du domaine \(A_2\), qui correspond à l'aire sous la courbe de \(f(x)\) sur un intervalle infini.

source latex de l'image

source latex de l'image 

\documentclass{standalone}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{tikz,tkz-fct}
\usetikzlibrary{shapes,arrows,positioning,calc}
 
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmin=-.1,xmax= 4,xstep=1,ymin=-.5,ymax=3,ystep=1]
\tkzSetUpAxis[line width=1pt,tickwd=0pt,ticka=0pt,tickb=0pt]
\tkzDrawX[label=]
\tkzDrawY[xshift=4pt,label=]
\tkzFct[very thick, domain = 0.1:1]{2*log(x)*log(x)/x}
\tkzFct[very thick, domain = 1:2]{1.5*(x-1)**2*(x-3)**2}
\tkzDrawArea[pattern=north west lines,domain = 1:2]
\tkzFct[very thick, domain = 2:3.8]{1.5*exp(-(x-2)**2)}
\tkzDrawArea[pattern=north east lines,domain = 2:3.8]
\tkzVLine[style = dashed,thin]{2}
\tkzDrawTangentLine[-,draw](2)
\tkzText[](1,3){\scriptsize $y=\frac{\ln^2 x}{x}$}
\tkzText[fill=white,inner sep=0pt](1.7,.5){\scriptsize $A_1$}
\tkzText[fill=white,inner sep=0pt](2.5,.5){\scriptsize $A_2$}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Solution :

Solution :

en construction

Equations et intégrales

Résoudre dans \( \mathbb R\)

  1. \(\displaystyle \int_{1}^{m^{2}} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=8 \)
  2. \(\displaystyle \int_{\mathbf{e}^{2}}^{x} \frac{1}{3 t} \mathrm{~d} t=1 \)
  3. \(\displaystyle \int_{0}^{x}\left(\tan ^{3}(t)+\tan (t)\right) \mathrm{d} t=\frac{3}{2} \)

Solution :

Solution :

en construction

Intégrales avec paramètres

Soit $\alpha \in \mathbb{R}_0$. Que vaut $\alpha$ sachant que \[\int_0^1 \frac{\mathbf{e}^{\alpha x}}{1+\mathbf{e}^{\alpha x}} \ \mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha}\]

Solution :

Solution :

$\alpha = \ln(2\mathrm{e}) -1$

Volumes de révolution

Calculer le volume de révolution engendré par une ellipse centrée en $(0,0)$ de grand axe $2a$ et de petit axe $2b$ qui tourne autour de l'axe des abscisses.

Solution :

Solution :

en construction