Exercice 1 : Détermination de primitives, primitives avec substitution, primitives avec condition initiale, calculs d'intégrales indéfinies, opérations sur l'intégrande, applications physiques.
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Exercice 2 : Trouve \(A\in\mathbb R\) pour que \[\int_1^2 \frac{4}{x^3}+Ax \;\text{d}x=12\]
Exercice 3 : Techniques de calcul
Calculer \(\displaystyle \int x\cdot \sqrt{1+x} \ \mathrm{d}x\) et \(\displaystyle \int x\cdot \sqrt{1+x^2} \ \mathrm{d}x\)
Exercice 4 : Techniques de calcul
Exercice 5 : Techniques de calcul Calculer :
Exercice 6 : Calculs d'aires
Soit \(f(x) = \dfrac{\ln^2 x}{x}\) dont le graphe est donné ci-dessous (esquisse). Calculer l'aire du domaine \(A_1\), qui correspond à l'aire sous la courbe de \(f(x)\) sur un intervalle fini.
Exercice 7 : Si la droite d'équation \( x = b \) divise l'aire sous la courbe \( y = \frac{1}{x^2} \), pour \( 1 \leq x \leq 9 \), en deux régions de même aire, alors \( b \) est égal à …
Exercice 8 : Trouvez l'aire sous le graphe de \[f(t)=\frac{t}{\left(1+t^{2}\right)^{a}}\] entre $t=0$ et $t=x$, où $a > 0$ et $a \neq 1$ est fixé, et évaluez la limite lorsque $x \to +\infty$.
Exercice 9 : Équations et intégrales
Résoudre dans \( \mathbb R\)
Exercice 10 : Intégrales avec paramètres
Soit $\alpha \in \mathbb{R}_0$. Que vaut $\alpha$ sachant que \[\int_0^1 \frac{\mathbf{e}^{\alpha x}}{1+\mathbf{e}^{\alpha x}} \ \mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha}\]
Rappel
Exercice 12 : Déterminez \( f_{\text{moy}} \) pour la fonction sur l'intervalle donné.
n° 12.1 : \( f(x) = 8x^4 - 7x^3 + 2 \) sur \( [-2, 1] \)
n° 12.2 : \( f(x) = (4 - x) e^{x^2 - 8x} \) sur \( [1, 4] \)
n° 12.3 : \( f(x) = 6x - \frac{4x}{x^2 + 1} \) sur \( [-3, 0] \)
n° 12.4 : \( f(x) = \cos(3x) [2 + \sin(3x)]^4 \) sur \( \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \)
Exercice 13 : Trouvez \( f_{\text{moy}} \) pour la fonction sur l'intervalle donné et déterminez la valeur de \( c \) dans l'intervalle donné pour laquelle \( f(c) = f_{\text{moy}} \).
n° 13.1 : \( f(x) = 10 - 4x - 6x^2 \) sur \( [2, 6] \)
n° 13.2 : \( f(x) = 7x^2 + 2x - 3 \) sur \( [-1, 1] \)
n° 13.3 : \( f(x) = 9 - 2e^{4x + 1} \) sur \( [-1, 2] \)
n° 13.4 : \( f(x) = 8 - \cos\left(\frac{x}{4}\right) \) sur \( [0, 4\pi] \)