Tableaux synthétiques sur l'intégration
$ \newcommand\dif{\;\textrm{d}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\Par}[1]{\left( #1 \right)} $
Somme de Riemann à droite
$$\ds \int_a^b f(x) \dif{x} =\lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{k = 1}^n f(a+k \Delta x) \Delta x$$
avec $\Delta x = \frac{b-a}{n}$
Théorème fondamental TFCDI
$$\displaystyle \int_a^b f(x) \dif{x} = F(x)\Big|_a^b = F(b)-F(a)$$
où $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$
et $F'=f$
et $F'=f$
Propriétés de linéarité
intégrale indéfinie
$\ds \int (f \pm g)(x) \dif{x} = {\int}f(x)\dif{x} \pm {\int}g(x)\dif{x}$
$\ds \int\lambda \cdot f(x)\dif{x} = \lambda {\int}f(x)\dif{x}$
$\ds \int\lambda \cdot f(x)\dif{x} = \lambda {\int}f(x)\dif{x}$
Propriétés de l'Intégration
intégrale définie
\(
\ds \int_{a}^{b} \lambda f(x) \dif{x} = \lambda \, \int_{a}^{b} f(x) \dif{x}
\)
\( \ds \int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \dif{x} = \int_{a}^{b} f(x) \dif{x} \pm \int_{a}^{b} g(x) \dif{x} \)
\( \ds \int_{a}^{a} f(x) \dif{x} = 0 \quad \text{et} \quad \int_{a}^{b} f(x) \dif{x} = -\int_{b}^{a} f(x) \dif{x} \)
\( \ds \int_{a}^{b} f(x) \dif{x} + \int_{b}^{c} f(x) \dif{x} = \int_{a}^{c} f(x) \dif{x} \)
\( \ds \int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \dif{x} = \int_{a}^{b} f(x) \dif{x} \pm \int_{a}^{b} g(x) \dif{x} \)
\( \ds \int_{a}^{a} f(x) \dif{x} = 0 \quad \text{et} \quad \int_{a}^{b} f(x) \dif{x} = -\int_{b}^{a} f(x) \dif{x} \)
\( \ds \int_{a}^{b} f(x) \dif{x} + \int_{b}^{c} f(x) \dif{x} = \int_{a}^{c} f(x) \dif{x} \)
Intégrales Courantes
\(
\ds \int k \dif{x} = kx + C
\)
\( \ds \int x^n \dif{x} = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C, \quad n \neq -1 \)
\( \ds \int x^{-1} \dif{x} = \ds \int \frac{1}{x} \dif{x} = \ln|x| + C \)
\( \ds \int \frac{1}{ax + b} \dif{x} = \frac{1}{a} \ln|ax + b| + C \)
\( \ds \int \ln(x) \dif{x} = x \ln(x) - x + C \)
\( \ds \int e^x \dif{x} = e^x + C \)
\( \ds \int a^x \dif{x} = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad a > 0, a \neq 1 \)
\( \ds \int \sin(x) \dif{x} = -\cos(x) + C \)
\( \ds \int \cos(x) \dif{x} = \sin(x) + C \)
\( \ds \int x^n \dif{x} = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C, \quad n \neq -1 \)
\( \ds \int x^{-1} \dif{x} = \ds \int \frac{1}{x} \dif{x} = \ln|x| + C \)
\( \ds \int \frac{1}{ax + b} \dif{x} = \frac{1}{a} \ln|ax + b| + C \)
\( \ds \int \ln(x) \dif{x} = x \ln(x) - x + C \)
\( \ds \int e^x \dif{x} = e^x + C \)
\( \ds \int a^x \dif{x} = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad a > 0, a \neq 1 \)
\( \ds \int \sin(x) \dif{x} = -\cos(x) + C \)
\( \ds \int \cos(x) \dif{x} = \sin(x) + C \)
Intégrales Courantes
\(
\ds \int \sec^2(x) \dif{x} = \tan(x) + C
\)
\( \ds \int \sec(x) \tan(x) \dif{x} = \sec(x) + C \)
\( \ds \int \csc^2(x) \dif{x} = -\cot(x) + C \)
\( \ds \int \csc(x) \cot(x) \dif{x} = -\csc(x) + C \)
\( \ds \int \tan(x) \dif{x} = -\ln|\sec(x)| + C \)
\( \ds \int \cot(x) \dif{x} = \ln|\sin(x)| + C \)
\( \ds \int \sec(x) \dif{x} = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \)
\( \ds \int \csc(x) \dif{x} = -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C \)
\( \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} \, du = \arcsin \left(\frac{u}{a}\right) + C \)
\( \int \frac{1}{a^2 + u^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan \left(\frac{u}{a}\right) + C \)
\( \ds \int \sec(x) \tan(x) \dif{x} = \sec(x) + C \)
\( \ds \int \csc^2(x) \dif{x} = -\cot(x) + C \)
\( \ds \int \csc(x) \cot(x) \dif{x} = -\csc(x) + C \)
\( \ds \int \tan(x) \dif{x} = -\ln|\sec(x)| + C \)
\( \ds \int \cot(x) \dif{x} = \ln|\sin(x)| + C \)
\( \ds \int \sec(x) \dif{x} = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \)
\( \ds \int \csc(x) \dif{x} = -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C \)
\( \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} \, du = \arcsin \left(\frac{u}{a}\right) + C \)
\( \int \frac{1}{a^2 + u^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan \left(\frac{u}{a}\right) + C \)
Substitution Trigonométrique
| Expression | Substitution |
|---|---|
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a \sin \theta$ |
| $dx = a \cos \theta \, d\theta$ | |
| $\sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta}= a \cos \theta$ | |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a \sec \theta$ |
| $dx = a \sec \theta \tan \theta \, d\theta$ | |
| $\sqrt{a^2 \sec^2 \theta - a^2}= a \tan \theta$ | |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a \tan \theta$ |
| $dx = a \sec^2 \theta \, d\theta$ | |
| $\sqrt{a^2 + a^2 \tan^2 \theta}= a \sec \theta$ |
Méthodes d'intégration
Intégration par Substitution
\(
\ds \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du
\)
où $u = g(x)$ et $du = g'(x) \, dx$.
où $u = g(x)$ et $du = g'(x) \, dx$.
Intégration par Parties
\(
\ds \int u \, dv = uv - \int v \, du \ \text{où} \ \dif{u} = u' \dif{x} \ \text{et} \ \dif{v} = v' \dif{x}
\)
ou bien \( \ds \int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \)
ou bien \( \ds \int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \)