Les limites en un réel sont souvent calculées en utilisant des techniques de simplification pour résoudre les formes indéterminées. Voici quelques méthodes courantes :
La factorisation est une technique utilisée pour simplifier des fractions en décomposant le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs plus simples. Cela permet de résoudre les formes indéterminées du type 0/0.
Exemple 1 : \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow-5}\dfrac{25-x^2}{5x^3+10x^2-75x} & = \left[\dfrac{0}{0}\right] \quad \textrm{Forme Indéterminée} \\ & = \lim\limits_{x\rightarrow-5}\dfrac{-(x-5)(x+5)}{5x(x-3)(x+5)}\\ & = \lim\limits_{x\rightarrow-5}\dfrac{-(x-5)}{5x(x-3)} \\ & = \dfrac{10}{(-25)(-8)}=\dfrac{1}{20} \end{align*}
Exemple 2 : \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow 3}\dfrac{x^3-6x^2+9x}{4x^3-14x^2+13x-21} &= \left[\dfrac{0}{0}\right] \quad \textrm{Forme Indéterminée} \\ &= \lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x(x-3)(x-3)}{(x-3)(4x^2-2x+7)} \\ &= \lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x(x-3)}{4x^2-2x+7} \\ &=\dfrac{3\times 0}{4\times 9-6+7}=\dfrac{0}{37} = 0 \end{align*}
La méthode des binômes conjugués est utilisée pour simplifier des expressions contenant des racines carrées. Elle consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du terme contenant la racine.
Exemple 3 : \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\dfrac{2-\sqrt{x+2}}{x-2} &= \left[\dfrac{0}{0}\right] \quad \textrm{Forme Indéterminée}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\dfrac{(2-\sqrt{x+2})(2+\sqrt{x+2})}{(x-2)(2+\sqrt{x+2})}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\dfrac{4-(x+2)}{(x-2)(2+\sqrt{x+2})} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\dfrac{-{(x-2)}}{{(x-2)}(2+\sqrt{x+2})} = -\dfrac{1}{4} \end{align*}
Exemple 1 :
Limite en l'infini d'un quotient de deux polynômes :
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-2x+5}{1-2x^2} = \left[ \frac{(-\infty)^2-2(-\infty)+5}{1-2(-\infty)^2}\right] = \left[ \frac{(+\infty)+(+\infty)+5}{1-2(+\infty)}\right] = \left[ \frac{+\infty}{-\infty} \right]$
La limite d'une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) en ${\displaystyle -\infty }$ et en ${\displaystyle +\infty }$ est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
C'est la mise en évidence du terme de plus haut degré qui permet de lever la FI ! \begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-2x+5}{1-2x^2} &=& \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2\left( 1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}{-2x^2\left( -\frac{1}{2x^2}+1\right)} \\ &=& \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{-2\left( -\frac{1}{2x^2}+1\right)} \\ &=& \frac{\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} 1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2} }{-2 \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} -\frac{1}{2x^2}+1 } &=& -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}
Exemple 2 :
Limites en l'infini d'un quotient dont le numérateur comprenant un radical. \begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{5x^2 + 2x}}{x} = \left[ \frac{+\infty}{+\infty} \right]_{(FI)} &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5x^2 \left( 1+\tfrac{2}{5x}\right) }}}{x} \\ &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5}}\ |x|\sqrt{1+\tfrac{2}{5x}}}{x}\\ &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5}}\ |x|}{x} \cdot \lim_{x \to +\infty}\sqrt{1+\tfrac{2}{5x}}\\ &=& \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{{5}}\cdot{x}}{x}\cdot \lim_{x \to +\infty}\sqrt{1+\tfrac{2}{5x}}\\ &=& \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5} \end{eqnarray*}
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5x^2 + 2x}}{x} = \left[ \frac{+\infty}{-\infty} \right]_{(FI)} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5x^2}}{x} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5}\ |x|}{x} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{5}\cdot{\left(-x\right)}}{x} = -\sqrt{5} $
Exemple 1 :
$\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2}-4 x+3}-x = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^{2}}\right)-\left(x\right) = [(+\infty) - (+\infty)]$
Une mise en évidence des termes de plus haut degré nous conduit à une autre forme indéterminée !
En effet,
\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2}-4 x+3}-x &=& \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^{2}\left( 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2}\right) }-x \\ &=& \lim\limits_{x \to +\infty}\ |x|\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-x \\ &=& \lim\limits_{x \to +\infty} {x}\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-x \\ &=& \lim\limits_{x \to +\infty} {x}\left(\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-1\right) \\ &=& \left( \lim\limits_{x \to +\infty} {x}\right) \cdot \left( \lim\limits_{x \to +\infty} \underbrace{\sqrt{ 1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{3}{x^2} }-1}_{\neq 0}\right) \\ &=& \left(+\infty\right) \cdot \left( 0\right) \quad \text{autre FI !} \end{eqnarray*}
La technique du binôme conjugué doit être appliquée avant d'utiliser la mise en évidence : \begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^{2}-4 x+3}-x &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(\sqrt{x^{2}-4 x+3}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x\right)}{\left(\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x\right)} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2-4x+3-x^2}{\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x+3}{\sqrt{x^{2}-4 x+3}+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{\sqrt{x^{2}}+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{|x|+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{x+x} \\ &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4x}{2x} \\ &=& -2 \end{eqnarray*}
Exemple 2 :
Même si cela paraît inutile dans ce cas-ci, il faut éviter à tout prix une mise en évidence (voir exercice précédent).
\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) &=& \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right)}{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right)} \\ &=& \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(x+1\right)-\left(x+2\right)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} \\ &=& \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} \\ &=& 0 \end{eqnarray*}