Limites des fonctions trigonométriques

En construction

On considère la fonction \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x} \)

  • Cette fonction n'est pas définie en \( 0 \).
  • Ses images tendent vers \( 1 \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \) … c'est ce que nous allons démontrer !

Nous allons donc montrer que \[ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1. \]

Nous utiliserons le théorème des gendarmes.

  • Aire secteur AOB : \(\frac{\theta}{2}\cos^2 \theta\)
  • Aire triangle AOD : \(\frac{1}{2}\sin \theta \cdot \cos \theta\)
  • Aire secteur EOD : \(\frac{\theta}{2}\)

\begin{align*} \frac{\theta}{2}\cos^2 \theta &\leq \frac{1}{2}\sin \theta \cdot \cos \theta \leq \frac{\theta}{2} \\ &\iff \cos^2 \theta \leq \frac{\sin \theta \cdot \cos \theta}{\theta} \leq 1 \\ &\iff \cos \theta \leq \frac{\sin \theta}{\theta} \leq \frac{1}{\cos\theta} \\ &\iff \lim_{\theta \to 0} \cos \theta \leq \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \leq \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{\cos\theta} \\ &\iff 1 \leq \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \leq 1 \end{align*}

Autres limites

Soit \( x > 0 \) : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin(x)}{x} \]

Nous savons que pour tout \( x \in \mathbb{R} \), on a \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \), ce qui implique : \[ x - 1 \leq x + \sin(x) \leq x + 1. \]

D'où : \[ \frac{x - 1}{x} \leq \frac{x + \sin(x)}{x} \leq \frac{x + 1}{x}. \]

Or, en prenant la limite, on obtient : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{x} = 1. \]

D'après le théorème des gendarmes, on en déduit que : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin(x)}{x} = 1. \]