$ \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\dom}[1]{\textbf{dom}\,#1} \newcommand{\ima}[1]{\textbf{im}\,#1} \def\lr#1#2#3{\ensuremath{\left#1#3\right#2}} \newcommand{\intf}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\into}[2]{\left] #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intfo}[2]{\left[ #1\, ; #2 \right[} \newcommand{\intof}[2]{\left] #1\, ; #2 \right]} \newcommand{\adh}[1]{\textbf{adh}\left(#1\right)} $

Notion d'adhérence

L'adhérence d'un ensemble $I \subset \mathbb{R}$ est tout simplement l'ensemble des points adhérents à $I$. On peut aussi le décrire par le plus petit fermé contenant $I$. Généralement, l'adhérence de $I$ est noté $\bar{I}$

Un réel $a$ adhère à un sous-ensemble $\mathrm{U}$ de $\mathbb{R}$ lorsque l'intersection avec $\mathrm{U}$ de n'importe quel intervalle ouvert centré en $a$ n'est pas vide. \[\forall \varepsilon > 0 : \into{a-\varepsilon}{a+\varepsilon} \cap \mathrm{U} \neq \emptyset \]

L'adhérence d'un sous-ensemble $\mathrm{U} \subset \mathbb{R}$ est l'ensemble des points adhérents à $\mathrm{U}$. On peut aussi la définir, de manière équivalente, comme le plus petit fermé contenant $\mathrm{U}$. Classiquement, l'adhérence de $\mathrm{U}$ est notée $\adh{\mathrm{U}}$.

Exemple : Soit $U=\left]-1;0\right[ \cup \mathbb{R}_0^+$. On a:

tout réel appartenant à $U$ adhère à $I$
$-1$ adhère à $U$
$0$ adhère à $U$
$-1,01$ n'adhère pas à $U$

Autres exemples : $\adh{\into{-2}{+\infty}}=\intfo{-2}{+\infty}$ et $\adh{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$

Notes : L'adhérence d'un intervalle de $\mathbb R$ est l'intervalle fermé de mêmes bornes.

Judicieuses limites!

Il n'y aura de sens à étudier son comportement en un réel $a$ que si $a$ adhère au domaine. Plus précisément, si :

$a \in dom\:f$ sans être isolé le domaine d'existence est

$dom\:f = \mathbb{R} \backslash \left\{a\right\}$,
$dom\:f = \left]-\infty;a\right[$
ou encore $dom\:f = \left]a;+\infty \right[$ (liste non exhaustive!)

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-5x+6}{\left(x-2\right)^2\left(1-2x\right)}$. Le domaine de définition est $\mathbb{R} \backslash \left\{\frac{1}{2};2\right\}$ et les valeurs réelles qui y adhèrent sans y appartenir sont $\frac{1}{2}$ et $2$. Il y a donc un sens à caluler les limites en $x=\frac{1}{2}$, en $x=2$ ainsi que les limites en l'infini (le domaine le permet).

\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}}f(x)&=& \left[\frac{\frac{15}{4}}{\frac{9}{4}.0}\right]=\pm\infty\\ &=& \left\{\begin{array}{l} \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^+} f(x) = -\infty\\ \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^-} f(x) = +\infty \end{array}\right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 2}f(x)&=& \left[\frac{0}{0}\right] \ \text{FI!}\\ &=& \left\{\begin{array}{l} \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = +\infty\\ \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = -\infty \end{array}\right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \pm\infty}f(x)&=& \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{x}{-2x^2} \\ &=& \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \frac{1}{-2x} = 0 \end{eqnarray*}

Notes :

On note $ \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup \{+ \infty \, ; \, - \infty \}$ la droite réelle achevée.
$\overline{dom\:f} \: \backslash \: dom\:f$ est l'ensemble de toutes les valeurs de la variable $x$ adhérentes au domaine et ne faisant pas partie du domaine.

Pour l'exemple précédent, on pourra écrire : $\overline{dom\:f} \: \backslash \: dom\:f = \left\{\frac{1}{2};2;-\infty;+\infty\right\}$