Le théorème des gendarmes
- Théorème d'encadrement, théorème du pincement, théorème de l'étau ou théorème du sandwich.
- Si deux fonctions f et h admettent la même limite en un réel \( a \) et qu'une troisième fonction \( g \) est prise en étau (ou encadrée ou prise en sandwich) entre f et h dans un voisinage de \( a \), alors \( g \) admet la même limite en \( a \).
- Il est utilisé afin de déterminer la limite d'une fonction en la comparant avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.
Théorème des gendarmes : Considérons un voisinage \( \mathbb{I} \) de \( a \in \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty; +\infty\} \). Soit \( f \), \( g \) et \( h \) trois fonctions réelles définies sur \( \mathbb{I} \), sauf éventuellement en \( a \).
- Si \( \forall x \in \mathbb{I} \backslash \{a\} \), on a : \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\)
- Et si \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x) = L \)
Alors, on a \( \lim\limits_{x \to a} g(x) = L \)
Pour être précis,
- \( a \) peut être situé à l'intérieur de l'intervalle \( \mathbb{I} \) ou à une de ses bornes (extrémités). En effet, dans ce dernier cas, on considérera la limite à gauche ou la limite à droite.
- \( a \) peut être fini ou infini. En effet, basé sur la remarque précédente, si, par exemple, \( \mathbb{I} = [0, +\infty[ \), nous pouvons utiliser la limite lorsque \( x \to +\infty \).